Toán 7 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Định lí và chứng minh một định lí

Giải bài tập Toán 7 Bài 4: Định lí và chứng minh một định lí

1. Định lí là gì?

Giải Toán 7 trang 82Tập 1

Thực hành 1 trang 82 Toán lớp 7 Tập 1: Cho định lí: “Nếu hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O và góc xOy vuông $(\widehat{xOy}={90}^o)$ thì các góc $\widehat{yO{x}^{\text{'}}},\widehat{x^{\text{'}}O{y}^{\text{'}}},\widehat{y^{\text{'}}Ox}$ đều là góc vuông”.

a) Hãy vẽ hình thể hiện định lí trên.

b) Viết giả thiết và kết luận của định lí.

Lời giải:

a)

b) Giả thiết và kết luận của định lí.

2. Chứng minh định lí

Giải Toán 7 trang 84Tập 1

Thực hành 2 trang 84 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy viết giả thiết, kết luận bằng kí hiệu và chứng minh định lí: “Hai góc cùng bù một góc thứ ba thì bằng nhau”.

Lời giải:

Chứng minh:

Do $\widehat{A}+\widehat{B}=180°$nên $\widehat{B}=180°-\widehat{A}$(1).

Do $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$nên $\widehat{C}=180°-\widehat{A}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Bài tập

Bài 1 trang 84 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận của định lí: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”.

Lời giải:

Bài 2 trang 84 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy phát biểu phần còn thiếu của kết luận trong các định lí sau:

a) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong .?.

b) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì .?.

Lời giải:

a) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.

b) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Bài 3 trang 84 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy phát biểu phần còn thiếu của giả thiết trong các định lí sau:

a) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng sao cho có một cặp góc so le trong .?. thì hai đường thẳng đó song song.

b) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng .?. với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải:

a) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng sao cho có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

b) Ta có hai cách điền như sau:

+) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

+) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Bài 4 trang 84 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy phát biểu định lí về hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

Lời giải:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Bài 5 trang 84 Toán lớp 7 Tập 1: Ta gọi hai góc có tổng bằng 90^o là hai góc phụ nhau. Hãy viết giả thiết, kết luận bằng kí hiệu và chứng minh định lí: “Hai góc cùng phụ một góc thứ ba thì bằng nhau”.

Lời giải:

Chứng minh:

Do $\widehat{A}+\widehat{B}=90°$nên $\widehat{B}=90°-\widehat{A}$(1).

Do $\widehat{A}+\widehat{C}=90°$nên $\widehat{C}=90°-\widehat{A}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Vậy $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Lý thuyết Toán 7 Bài 4: Định lí và chứng minh một định lí - Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm định lý

Định lý là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.

Khi định lý được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa chữ “Nếu” và chữ “thì” là phần giả thiết (viết tắt là GT), phần nằm sau chữ “thì” là phần kết luận (viết tắt là KL).

Ví dụ: Định lý: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau ”

Định lý trên có thể viết dưới dạng :“Nếu hai góc $\widehat{O_1}$và $\widehat{O_2}$ đối đỉnh thì $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ ”

Phần giả thiết : hai góc $\widehat{O_1}$và $\widehat{O_2}$ đối đỉnh.

Phần kết luận : $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ .

2. Chứng minh định lý

Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

Ví dụ : Chứng minh định lý : “Nếu hai góc $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_2}$ đối đỉnh thì $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ ”

Để chứng tỏ định lý trên là đúng, ta lập luận như sau :

Do $\widehat{xOy}$ và $\widehat{zOt}$ là hai góc đối đỉnh nên Ot và Ox là hai tia đối nhau.

Suy ra $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOt}$ là hai góc kề bù nên :

$\widehat{xOz}+\widehat{zOt}={180}^0$ (1)

Tương tự, ta có : $\widehat{xOz}+\widehat{xOy}={180}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{xOz}+\widehat{xOy}=\widehat{xOz}+\widehat{zOt}$.

Vậy $\widehat{xOy}=\widehat{zOt}$, tức là $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$.