Toán 7 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 30Tập 1

Khởi động trang 30 Toán lớp 7 Tập 1: Có số hữu tỉ nào mà bình phương của nó bằng 2 hay không?

Lời giải:

Không có số hữu tỉ nào bình phương lên bằng 2.

1. Biểu diễn thập phân của số hữu tỉ

Khám phá 1 trang 30 Toán lớp 7 Tập 1: a) Hãy thực hiện các phép chia sau đây:

3 : 2 = ?;37 : 25 = ?;5 : 3 = ?;1 : 9 = ?.

b) Dùng kết quả trên để viết các số $\frac{3}{2};\frac{37}{25};\frac{5}{3};\frac{1}{9}$ dưới dạng số thập phân.

Lời giải:

a) Thực hiện phép chia ta có:

3 : 2 = 1,5;37 : 25 = 1,48;5 : 3 = 1,666…1 : 9 = 0,111…

b) Ta có:

$\frac{3}{2}$= 1,5;$\frac{37}{25}$= 1,48;$\frac{5}{3}$= 1,666…$\frac{1}{9}$= 0,111…

Giải Toán 7 trang 31Tập 1

Thực hành 1 trang 31 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau đây dưới dạng số thập phân: $\frac{12}{25};\frac{27}{2};\frac{10}{9}.$

Lời giải:

Thực hiện phép chia ta có:

$\frac{12}{25}$= 0,48;$\frac{27}{2}$= 13,5;$\frac{10}{9}$= 1,111…

Vận dụng 1 trang 31 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy so sánh hai số hữu tỉ: 0,834 và $\frac{5}{6}$.

Lời giải:

Do 0,834 > 0,8333… nên $0,834>\frac{5}{6}.$

Vậy $0,834>\frac{5}{6}.$

2. Số vô tỉ

Khám phá 2 trang 31 Toán lớp 7 Tập 1: Cho hai hình vuông ABCD và AMBN như hình bên. Cho biết cạnh AM = 1 dm.

- Em hãy cho biết diện tích hình vuông ABCD gấp mấy lần diện tích hình vuông AMBN.

- Tính diện tích hình vuông ABCD.

- Hãy biểu diễn diện tích hình vuông ABCD theo độ dài đoạn AB.

Lời giải:

– Diện tích hình vuông ABCD bằng 4 lần diện tích tam giác ANB.

Diện tích hình vuông AMBN bằng 2 lần diện tích tam giác ANB.

Do đó diện tích hình vuông ABCD bằng 4 : 2 = 2 lần diện tích hình vuông AMBN.

– Diện tích tam giác AMB bằng diện tích tam giác ANB.

Diện tích tam giác AMB bằng: $\frac{AM.MB}{2}=\frac{1.1}{2}=\frac{1}{2}$ (dm²).

Do đó diện tích tam giác ANB bằng $\frac{1}{2}$ (dm²).

Diện tích hình vuông ABCD bằng: $4.\frac{1}{2}=2$ (dm²).

– Biểu diễn diện tích hình vuông ABCD theo độ dài đoạn AB là: AB² (dm²).

Giải Toán 7 trang 32Tập 1

Thực hành 2 trang 32 Toán lớp 7 Tập 1: Hoàn thành các phát biểu sau:

a) Số a = 5,123 là một số thập phân hữu hạn nên a là số .?.

b) Số b = 6,15555…. = 6, 1(5) là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên b là số .?.

d) Cho biết số c = 2,23606… là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy c là số .?.

Lời giải:

a) Số a = 5,123 là một số thập phân hữu hạn nên a là số hữu tỉ.

b) Số b = 6,15555…. = 6, 1(5) là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên b là số hữu tỉ.

d) Cho biết số c = 2,23606… là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy c là số vô tỉ.

3. Căn bậc hai số học

Khám phá 3 trang 32 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Tìm giá trị của x² với x lần lượt bằng 2; 3; 4; 5; 10.

b) Tìm số x không âm với x² lần lượt bằng 4; 9; 16; 25; 100.

Lời giải:

a) Với x = 2 thì x² = 2² = 4.

Với x = 3 thì x² = 3² = 9.

Với x = 4 thì x² = 4² =16.

Với x = 5 thì x² = 5² = 25.

Với x = 10 thì x² = 10² = 100.

b) Do x² = 4 = 2² và 2 > 0 nên x = 2.

Do x² = 9 = 3² và 3 > 0 nên x = 3.

Do x² = 16 = 4² và 4 > 0 nên x = 4.

Do x² = 25 = 5² và 5 > 0 nên x = 5.

Do x² = 100 = 10² và 10 > 0 nên x = 10.

Thực hành 3 trang 32 Toán lớp 7 Tập 1: Viết các căn bậc hai số học của 16; 7; 10; 36.

Lời giải:

Căn bậc hai số học của các số 16; 7; 10; 36 là:

$\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4;$$\sqrt{7};$$\sqrt{10};$$\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6.$

Vận dụng 2 trang 32 Toán lớp 7 Tập 1: Tính độ dài cạnh của một mảnh đất hình vuông có diện tích là 169 m².

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông trên là x (m) (x > 0).

Do mảnh đất trên có diện tích 169 m² nên x² = 169.

Vì 13² = 169 và 13 > 0 nên x = 13.

Vậy độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông đó là 13 m.

4. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Giải Toán 7 trang 33Tập 1

Khám phá 4 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Sử dụng máy tính cầm tay bấm liên tiếp các nút

Em hãy đọc kết quả x trên màn hình rồi tính x².

b) Sử dụng máy tính cầm tay bấm liên tiếp các nút

Em hãy đọc kết quả x trên màn hình rồi tính x².

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay bấm liên tiếp các nút

Kết quả x trên màn hình là 5.

Khi đó x² = 5² = 25.

b) Sử dụng máy tính cầm tay bấm liên tiếp các nút

Kết quả x trên màn hình là $\sqrt{2}.$

Khi đó $x^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2.$

Thực hành 4 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính các căn bậc hai số học sau:

$\sqrt{3};\sqrt{15129};\sqrt{10000};\sqrt{10}.$

Lời giải:

$\sqrt{15129}=123;$

$\sqrt{10000}=100;$

Vận dụng 3 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để:

a) Tính độ dài cạnh của một mảnh đất hình vuông có diện tích là 12 996 m².

b) Công thức tính diện tích S của hình tròn bán kính R là S = πR². Tính bán kính của một hình tròn có diện tích là 100 cm².

Lời giải:

a) Gọi độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông trên là x (m) (x > 0).

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được $\sqrt{12996}=114.$

Vậy độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông có diện tích 12 996 m² là 114 m.

b) Do $S=\pi R^2$nên $100=\pi R^2.$

Khi đó $R^2=\frac{100}{\pi }.$

Do đó $R=\sqrt{\frac{100}{\pi }}.$

Vậy bán kính của hình tròn có diện tích 100 cm² xấp xỉ bằng 5,64 cm.

Bài tập

Bài 1 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau đây dưới dạng số thập phân:

$\frac{15}{8};$ $-\frac{99}{20}$;

$\frac{40}{9};$ $-\frac{44}{7}$.

b) Trong các số thập phân vừa tính được, hãy chỉ ra các số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Lời giải:

a) Thực hiện phép chia ta có:

$\frac{15}{8}=1,875;$$-\frac{99}{20}=-4,95;$$\frac{40}{9}=4,\left(4\right);$$-\frac{44}{7}=-6,\left(285714\right).$

b) Các số thập phân vô hạn tuần hoàn là: 4,(4); –6,(285714).

Bài 2 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) $\sqrt{2}\in \mathrm{𝕀}$;

b) $\sqrt{9}\in \mathrm{𝕀}$;

c) $\pi \in \mathrm{𝕀}$;

d) $\sqrt{4}\in \mathbb{Q}$.

Lời giải:

b) Ta có $\sqrt{9}=3;$ mà 3 không phải số vô tỉnên phát biểu $\sqrt{9}\in \mathrm{𝕀}$sai.

d) Ta có $\sqrt{4}=2;$$2=\frac{2}{1}.$

Lại có $2\in \mathbb{Z};1\in \mathbb{Z}$và $1\ne 0$nên $\frac{2}{1}\in \mathbb{Q}.$

Do đó phát biểu $\sqrt{4}\in \mathbb{Q}$đúng.

Vậy phát biểu đúng trong các phát biểu là a), c), d).

Bài 3 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1: Tính

a) $\sqrt{64}$;

b) $\sqrt{{25}^2}$;

c) $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{64}=\sqrt{8^2}=8$;

b) $\sqrt{{25}^2}=25$;

c) $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$.

Bài 4 trang 33 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy thay dấu ? bằng các số thích hợp.

Lời giải:

Với n = 121 thì $\sqrt{n}=\sqrt{121}=\sqrt{{11}^2}=11.$

Với $\sqrt{n}=12$thì $n={\left(\sqrt{n}\right)}^2={12}^2=144.$

Với n = 169 thì $\sqrt{n}=\sqrt{169}=\sqrt{{13}^2}=13.$

Với $\sqrt{n}=146$thì $n={\left(\sqrt{n}\right)}^2={146}^2=21316.$

Ta có bảng sau:

Bài 5 trang 34 Toán lớp 7 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính các căn bậc hai số học sau (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).

a) $\sqrt{2250}$;

b) $\sqrt{12}$;

c) $\sqrt{5}$;

d) $\sqrt{624}$.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

d) $\sqrt{624}=24,97999199\approx 24,980$.

Bài 6 trang 34 Toán lớp 7 Tập 1: Bác Thu thuê thợ lát gạch một cái sân hình vuông hết tất cả là 10 125 000 đồng. Cho biết chi phí cho 1 m² (kể cả công thợ và vật liệu) là 125 000 đồng. Hãy tính độ dài cạnh của cái sân.

Lời giải:

Diện tích của sân là: 10 125 000 : 125 000 = 81 (m²).

Gọi độ dài cạnh của sân là x (m) (x > 0).

Khi đó diện tích của cái sân là: x² = 81.

Do 9² = 81 và 9 > 0 nên x = 9.

Vậy độ dài cạnh của sân là 9 m.

Bài 7 trang 34 Toán lớp 7 Tập 1: Tính bán kính của một hình tròn có diện tích là 9869 m² (dùng máy tính cầm tay).

Lời giải:

Ta có $S=\pi R^2.$

Khi đó $R^2=\frac{R}{\pi }$do đó $R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}.$

Vậy bán kính của hình tròn có diện tích 9 869 m² xấp xỉ bằng 56 m.

Bài 8 trang 34 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số hữu tỉ trong các số sau:

$12;\frac{2}{3};3,\left(14\right);0,123;\sqrt{3}$.

Lời giải:

$12=\frac{12}{1};$$12;1\in \mathbb{Z}$và $1\ne 0$nên $12\in \mathbb{Q}.$

$2;3\in \mathbb{Z}$và $3\ne 0$nên $\frac{2}{3}\in \mathbb{Q}.$

3,(14) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $3,\left(14\right)\in \mathbb{Q}.$

0,123 là số thập phân hữu hạn nên $0,123\in \mathbb{Q}.$

Vậy các số hữu tỉ là: 12;$\frac{2}{3};$3,(14);0,123.

Lý thuyết Toán 7 Bài 1: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học- Chân trời sáng tạo

1. Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ

Với một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$, ta chỉ có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu $\frac{a}{b}$ bằng một phân số thập phân thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ là số thập phân bằng với phân số thập phân đó.

Ví dụ:

$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4$; $\frac{3}{25}=\frac{12}{100}=0,12$.

Khi đó, các số 0,4 và 0,12 được gọi là số thập phân hữu hạn.

Trường hợp 2: Nếu $\frac{a}{b}$ không bằng bất cứ phân số thập phân nào thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ không bao giờ dừng và có chữ số hoặc cụm chữ số sau dấu phẩy lặp đi lặp lại.

Ví dụ:

a) Ta thực hiện phép chia 5 : 12 = 0,41666…; số 6 được lặp đi lặp lại mãi mãi.

b) Ta thực hiện phép chia 7 : 30 = 0,2333… ; chữ số 3 lặp đi lặp lại mãi mãi.

Do đó các số 0,41(6); 0,2(3) gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn và chữ số lặp đi lặp lại như (6); (3) được gọi là chu kì.

Chú ý: Số 0,41(6) đọc là 0,41 chu kì 6 ; số 0,2(3) đọc là 0,2 chu kì 3.

•Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ: $\frac{12}{25}=\frac{48}{100}=0,48$; $\frac{10}{9}=1,\left(1\right)$

2. Số vô tỉ

– Số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

– Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số, số đó gọi là số vô tỉ.

– Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là ?.

Ví dụ:

a) Với x² = 2 người ta tính được x = 1,414213562… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Vậy x = 1,414213562… là số vô tỉ.

b) Số Pi (π) là tỉ số giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó.

Người ta tính được π = 3,141592653… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Vậy π là một số vô tỉ.

3. Căn bậc hai số học

– Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x² = a.

Ta dùng kí hiệu $\sqrt{a}$ để chỉ căn bậc hai số học của a.

– Một số không âm a có đúng một căn bậc hai số học.

Chú ý:

– Số âm không có căn bậc hai số học.

– Ta có $\sqrt{a}$ ≥ 0 với mọi số a không âm.

– Với mọi số a không âm, ta luôn có ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, ví dụ như ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$.

– Ta có $\sqrt{2}$ là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1.

Ví dụ: $\sqrt{4}=2$ ; $\sqrt{81}=9$ ; $\sqrt{0}=0$.

4. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Ta có thể tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số nguyên dương bằng máy tính cầm tay.

Ví dụ: Dùng máy tính cầm tay ta tính $\sqrt{8}$ và $\sqrt{2250}$ như sau:

Vậy $\sqrt{8}$ ≈ 2,828427125; $\sqrt{2250}$ ≈ 47,4341649.