Toán 7 Bài 2 (Cánh diều): Tia phân giác của một góc

Giải bài tập Toán 7 Bài 2: Tia phân giác của một góc

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 96Tập 1

Khởi động trang 96 Toán lớp 7 Tập 1: Hình 24 gợi lên hình ảnh tia OC nằm trong góc AOB và chia góc đó thành hai góc bằng nhau là AOC và BOC.

Tia OC được gọi là tia gì của góc AOB?

Lời giải:

Đây là nội dung bài học hôm nay, vì vậy sau khi học xong bài này chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi.

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Tia OC được gọi là tia phân giác của góc AOB.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 96 Toán lớp 7 Tập 1: Quan sát góc vuông xOy và tia Oz ở Hình 25.

a) Mỗi điểm M (M khác O) thuộc tia Oz có phải là điểm trong của góc xOy hay không? Tia Oz có nằm trong góc xOy hay không?

b) Tính số đo góc yOz.

c) So sánh hai góc xOz và yOz.

Lời giải:

a)

Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.

Khi đó, tia OM cắt đoạn thẳng AB nên điểm M là điểm trong của góc xOy.

Do đó, điểm M (M khác O) thuộc tia Oz là điểm trong của góc xOy.

Tia Oz đi qua điểm M mà điểm M cũng nằm trong góc xOy.

Nên tia Oz nằm trong góc xOy.

Vậy điểm M (M khác O) thuộc tia Oz là điểm trong của góc xOy và tia Oz nằm trong góc xOy.

b) Tia Oz nằm trong góc xOy nên Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy.

Khi đó, $\widehat{xOz}+\widehat{yOz}=\widehat{xOy}$.

Thay số, $45°+\widehat{yOz}=90°$

Do đó $\widehat{yOz}={90}^o-{45}^o={45}^o$.

Vậy $\widehat{yOz}={45}^o$.

c) $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}$vì $\widehat{xOz}={45}^o$; $\widehat{yOz}={45}^o$.

Vậy $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}$.

2. Vẽ tia phân giác của một góc

Giải Toán 7 trang 97Tập 1

Hoạt động 2 trang 97 Toán lớp 7 Tập 1: Cho góc xOy. Vẽ tia phân giác của góc đó bằng thước thẳng và compa.

Lời giải:

Để vẽ tia phân giác của góc xOy, ta làm như sau:

Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm A bất kì (A khác O);

Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA, cắt tia Oy tại điểm B.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính AO.

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính BO, cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.

Bước 4: Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

Luyện tập 1 trang 97 Toán lớp 7 Tập 1: Kiểm tra lại bằng thước đo góc để thấy các góc xOC và yOC trong Hoạt động 2 là bằng nhau.

Lời giải:

Từ Hoạt động 2, ta thu được hình vẽ như sau:

Học sinh tự dùng thước đo độ để kiểm tra.

Hoạt động 3 trang 97 Toán lớp 7 Tập 1: Cho góc mIn. Vẽ tia phân giác của góc đó bằng thước hai lề (thước có hai cạnh song song).

Lời giải:

Để vẽ tia phân giác của góc mIn bằng thước hai lề, ta làm như sau:

Bước 1:

- Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Im của góc mIn.

- Dùng bút vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước (như hình vẽ).

Bước 2:

- Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh In của góc mIn.

- Dùng bút vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước (như hình vẽ).

Bước 3: Hai nét vạch thẳng vẽ ở Bước 1 và Bước 2 cắt nhau tại điểm K nằm trong góc mIn. Vẽ tia IK, ta được tia phân giác của góc mIn.

Giải Toán 7 trang 98Tập 1

Luyện tập 2 trang 98 Toán lớp 7 Tập 1: Kiểm tra lại bằng thước đo góc để thấy các góc mIK và nIK trong Hoạt động 3 là bằng nhau.

Lời giải:

Từ Hoạt động 3, ta thu được hình vẽ như sau:

Học sinh dùng thước đo góc kiểm tra kết quả.

Bài tập

Bài 1 trang 98 Toán lớp 7 Tập 1: Để xác định phương hướng trên bản đồ hay trên thực địa, người ta thường xác định 8 hướng (Bắc, Nam, Đông, Tây, Đông Bắc, Đông Nam, Tây Nam, Tây Bắc) như Hình 29.

Trong đó:

B: hướng Bắc; N: hướng Nam;

Đ: hướng Đông; T: hướng Tây;

ĐB: hướng Đông Bắc (tia Ox);

ĐN: hướng Đông Nam (tia Ov);

TN: hướng Tây Nam (tia Oy);

TB: hướng Tây Bắc (tia Ou).

a) Tia OB là tia phân giác của những góc (khác góc bẹt) nào?

b) Tia OT là tia phân giác của những góc (khác góc bẹt) nào?

Lời giải:

a) Vì TĐ ⊥ BN nên $\widehat{TOB}=\widehat{BOĐ}={90}^o$

Mà tia OB nằm trong $\widehat{TOĐ}$

Do đó, tia OB là tia phân giác của $\widehat{TOĐ}$

Vì tia Ox nằm giữa hai tia OB và OĐ nên:

$\widehat{xOB}+\widehat{xOĐ}=\widehat{BOĐ}={90}^o$

Hay $\widehat{xOB}+45°={90}^o$.

Do đó $\widehat{xOB}={90}^o-{45}^o={45}^o$.

Ta có $\widehat{xOB}+\widehat{uOB}=\widehat{xOu}={90}^o$;

Khi đó $\widehat{uOB}={90}^o-\widehat{xOB}={90}^o-{45}^o={45}^o$.

Nhận thấy: Tia OB nằm trong $\widehat{xOu}$và $\widehat{xOB}=\widehat{uOB}={45}^o$.

Do đó, tia OB là tia phân giác của $\widehat{xOu}$.

Vậy tia OB là tia phân giác của $\widehat{TOĐ}$và $\widehat{xOu}$.

b) Vì TĐ $\perp$BN nên $\widehat{TOB}=\widehat{TON}={90}^o$.

Mà tia OT nằm trong $\widehat{BON}$.

Do đó, tia OT là tia phân giác của $\widehat{BON}$.

Ta có: $\widehat{TOu}+\widehat{uOB}=\widehat{TOB}={90}^o$.

Suy ra $\widehat{TOu}={90}^o-\widehat{uOB}$.

Hay $\widehat{TOu}=90°-45°=45°$.

Lại có: $\widehat{TOy}$và $\widehat{xOĐ}$là góc góc đối đỉnh

Nên $\widehat{TOy}=\widehat{xOĐ}=45°$

Nhận thấy: Tia OT nằm trong $\widehat{uOy}$và $\widehat{TOu}=\widehat{TOy}={45}^o$.

Do đó, tia OT là tia phân giác của $\widehat{uOy}$.

Vậy tia OT là tia phân giác của $\widehat{BON}$và $\widehat{uOy}$.

Giải Toán 7 trang 99Tập 1

Bài 2 trang 99 Toán lớp 7 Tập 1: Trong Hình 30, tính số đo của tính số đo của mỗi góc mOp, qOr, pOq.

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, $\widehat{mOn}=\widehat{nOp}={33}^o$.

Mà tia On nằm giữa hai tia Om và Op nên On là tia phân giác của góc pOm

Suy ra, $\widehat{mOp}=2\widehat{mOn}=2.33°=66°$.

Ta thấy $\widehat{pOn}$và $\widehat{qOr}$là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{qOr}=\widehat{pOn}={33}^o$.

Ta có: $\widehat{pOr}$là góc bẹt nên $\widehat{pOr}=180°$

Vì tia Oq nằm giữa hai tia Op và Or nên:

$\widehat{pOq}+\widehat{q\text{Or}}=\widehat{pOr}$.

$\widehat{pOq}+{33}^o={180}^o$.

$\widehat{pOq}={180}^o-{33}^o={147}^o$.

Vậy $\widehat{mOp}={66}^o$; $\widehat{qOr}={33}^o$; $\widehat{pOq}={147}^o$.

Bài 3 trang 99 Toán lớp 7 Tập 1: Ở Hình 31 có góc vuông xOy, các tia On, Oz, Om nằm trong góc đó và $\widehat{xOn}=\widehat{nOz}$, $\widehat{yOm}=\widehat{mOz}$.

a) Các tia Om, On có tương ứng là tia phân giác của góc yOz và xOz hay không?

b) Cho biết số đo góc mOn.

Lời giải:

a) Từ hình vẽ ta thấy tia Om nằm trong góc yOz

Mà $\widehat{yOm}=\widehat{mOz}$

Nên tia Om là tia phân giác của góc yOz.

Từ hình vẽ ta thấy tia On nằm trong góc xOz

Mà $\widehat{xOn}=\widehat{nOz}$

Nên tia On là tia phân giác của góc xOz.

Vậy tia Om, On tương ứng là tia phân giác của góc yOz và xOz.

b) Tia Oz nằm trong $\widehat{xOy}$nên $\widehat{xOz}+\widehat{yOz}=\widehat{xOy}={90}^o$(1)

Vì tia Om là tia phân giác của góc yOz nên:

$\widehat{yOm}=\widehat{mOz}=\frac{\widehat{yOz}}{2}$hay $\widehat{yOz}=2\widehat{mOz}$(2)

Vì tia On là tia phân giác của góc xOz nên:

$\widehat{xOm}=\widehat{nOz}=\frac{\widehat{xOz}}{2}$hay $\widehat{xOz}=2\widehat{nOz}$(3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:

$\widehat{xOz}+\widehat{yOz}=2\widehat{nOz}+2\widehat{mOz}=2\left(\widehat{nOz}+\widehat{mOz}\right)={90}^o$

Suy ra, $\widehat{nOz}+\widehat{mOz}=\frac{90°}{2}=45°$

Mà $\widehat{nOz}+\widehat{mOz}$=$\widehat{mOn}$.

Do đó, $\widehat{mOn}=45°$

Vậy $\widehat{mOn}=45°$.

Bài 4 trang 99 Toán lớp 7 Tập 1: Cho $\widehat{xOy}={120}^o$. Vẽ tia phân giác của góc xOy bằng hai cách:

a) Sử dụng thước thẳng và compa;

b) Sử dụng thước hai lề.

Lời giải:

Vẽ $\widehat{xOy}={120}^o$(như hình vẽ).

a) Để vẽ tia phân giác của góc xOy bằng cách sử dụng thước thẳng và compa, ta làm như sau:

Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm A bất kì (A khác O);

Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA, cắt tia Oy tại điểm B.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính AO.

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính BO, cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.

Bước 4: Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

b) Để vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề, ta làm như sau:

Bước 1:

- Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy.

- Dùng bút vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước (như hình vẽ).

Bước 2:

- Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy.

- Dùng bút vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước (như hình vẽ).

Bước 3: Hai nét vạch thẳng vẽ ở Bước 1 và Bước 2 cắt nhau tại điểm C nằm trong góc xOy. Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

Lý thuyết tia phân giác

1. Tia phân giác là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc và tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau.

Ví dụ:

Ta thấy tia Oz nằm trong góc xOy và tia Oz tạo với cạnh Ox góc xOz, tạo với cạnh Oy góc yOz; hai góc xOz và yOz đều bằng 40°.

Vì vậy, tia Oz là tia phân giác của góc xOy.

2. Vẽ tia phân giác của một góc

Cho góc xOy. Để vẽ tia phân giác của góc xOy ta có các cách sau:

Cách 1: Vẽ tia phân giác của một góc bằng thước thẳng và compa.

Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm A bất kì (A khác O). Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA, cắt tia Oy tại điểm B.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính AO.

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính AO, cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.

Bước 4: Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

Cách 2: Dùng thước hai lề

Bước 1: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với một trong hai cạnh của góc xOy; dùng bút, vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.

Bước 2: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh còn lại của góc xOy; dùng bút, vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.

Bước 3: Hai nét vạch ở bước 1 và bước 2 cắt nhau tại điểm K nằm trong góc xOy. Vẽ tia OK, ta được tia này là tia phân giác của góc xOy.

3. Định lí tia phân giác

* Định lý thuận:

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

* Định lí đảo:

- Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

- Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

II. Đường phân giác

1. Đường phân giác là gì?

- Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau.

- Mọi điểm trên một đường phân giác cách đều hai cạnh của góc đó và ngược lại.

2. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

* Lưu ý: Định lí vẫn đúng với tia phân giác của góc ngoài của tam giác.

III. Sự khác biệt giữa tia phân giác và đường phân giác

Tia Phân Giác: Là một tia bắt đầu từ đỉnh của một góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Tia phân giác không phải là đoạn thẳng có độ dài xác định mà là một phần của đường thẳng vô hạn.

Đường Phân Giác: Trong một tam giác, đường phân giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh tam giác đến điểm cắt của tia phân giác với cạnh đối diện. Đường phân giác là một đoạn thẳng có độ dài xác định và chia cạnh đối diện tam giác theo tỷ lệ nhất định.

Mối Quan Hệ: Tia phân giác là thành phần cơ bản có thể dựa vào từ đó xác định đường phân giác. Đường phân giác chính là đoạn thẳng mà tia phân giác cắt cạnh đối diện tam giác, và nó chia cạnh đối diện thành hai phần tương ứng.