Giải Toán 7 Bài 5 (Cánh diều): Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Giải bài tập Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

A. Câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 84Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 84 Toán 7 Tập 2: Hai chiếc compa ở Hình 45 gợi nên hình ảnh hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B', AC = A'C', $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}.$

Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau hay không?

Lời giải

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

GT	$∆$ABC, ∆A'B'C' AB = A'B', AC = A'C', $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}.$
KL	Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Chứng minh (Hình 45):

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B' (giả thiết),

AC = A'C' (giả thiết),

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = ∆A'B'C' (c.g.c)

Vậy $∆$ABC = ∆A'B'C'.

Hoạt động 1 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 46). Nêu hai cạnh của góc tại đỉnh A.

Lời giải

Trong tam giác ABC, hai cạnh của góc tại đỉnh A là cạnh AB và cạnh AC.

Hoạt động 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' (Hình 47) có: AB = A'B' = 2 cm, $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=60°,$ AC = A'C' = 3 cm. Bằng cách đếm số ô vuông, hãy so sánh BC và B'C'. Từ đó có thể kết luận được hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau hay không?

Lời giải

Quan sát Hình 47 ta có: Nếu coi độ dài cạnh ô vuông nhỏ là 1 đơn vị thì BC có độ dài bằng 6 cạnh của ô vuông nên bằng 6 đơn vị, B'C' có độ dài bằng 6 cạnh của ô vuông nên bằng 6 đơn vị.

Do đó BC = B'C'.

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (c.c.c)

Giải Toán 7 trang 85Tập 2

Luyện tập 1 trang 85 Toán 7 Tập 2: Cho góc nhọn xOy. Hai điểm M, N thuộc tia Ox thoả mãn OM = 2 cm, ON = 3 cm. Hai điểm P, Q thuộc tia Oy thoả mãn OP = 2 cm, OQ = 3 cm. Chứng minh MQ = NP.

Lời giải

GT	$\widehat{xOy},$OM = 2 cm, ON = 3 cm, OP = 2 cm, OQ = 3 cm
KL	MQ = NP

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Xét tam giác OMQ và tam giác OPN có:

OM = OP (= 2cm)

$\widehat{xOy}$ là góc chung

ON = OQ (= 3cm)

Suy ra $∆$OMQ = $∆$OPN (c.g.c)

Do đó MQ = NP (hai cạnh tương ứng)

Vậy MQ = NP.

Luyện tập 2 trang 85 Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy có Oz là tia phân giác. Hai điểm M, N lần lượt thuộc Ox, Oy và khác O thoả mãn OM = ON, điểm P khác O và thuộc Oz. Chứng minh MP = NP.

Lời giải

GT	$\widehat{xOy},$Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy},$ OM = ON, P ∈Oz
KL	MP = NP

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Vì tia Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{MOP}=\widehat{NOP}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Xét tam giác OMP và tam giác ONP có:

OM = ON (giả thiết)

$\widehat{MOP}=\widehat{NOP}$ (chứng minh trên)

OP là cạnh chung

Suy ra $∆$OMP = $∆$ONP (c.g.c)

Do đó MP = NP (hai cạnh tương ứng)

Vậy MP = NP.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 86Tập 2

Bài 1 trang 86 Toán 7 Tập 2: Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang 74) thông qua việc giải bài tập sau đây:

Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E thuộc cạnh AC thoả mãn AE = AB. Chứng minh:

a) $∆$ABD = $∆$AED;

b) $\widehat{B}>\widehat{C}.$

Lời giải

GT	∆ABC, AB < AC Tia AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ E ∈AC, AE = AB.
KL	a) $∆$ABD =$∆$AED; b) $\widehat{B}>\widehat{C}.$

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

a) Vì tia AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$. (tính chất tia phân giác của một góc)

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

AB = AE (giả thiết)

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên)

AD là cạnh chung

Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

Vậy ∆ABD = ∆AED.

b) Vì ∆ABD = ∆AED (theo câu a)

Nên $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có $\widehat{AED}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh E

Nên $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AED}=\widehat{EDC}+\widehat{C}$

Do đó $\widehat{ABD}>\widehat{C}$ hay $\widehat{B}>\widehat{C}$

Vậy $\widehat{B}>\widehat{C}$

Bài 2 trang 86 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông.

Chứng minh:

a) IA = IB;

b) IH là tia phân giác của góc AIB.

Lời giải

GT	∆ABC, ∆ABD, AD = BC, IC = ID, $\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{H}=90°$
KL	a) IA = IB; b) IH là tia phân giác của góc AIB.

Chứng minh (Hình 53)

a) Vì $\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{H}=90°$(giả thiết) nên tam giác ADI vuông tại D, tam giác BCI vuông tại C, tam giác AHI và BHI vuông tại H.

Xét tam giác ADI (vuông tại D) và tam giác BCI (vuông tại C) có:

AD = BC (giả thiết)

DI = CI (giả thiết)

Suy ra ∆ADI = ∆BCI (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AI = BI (hai cạnh tương ứng)

Vậy AI = BI.

b) Xét tam giác AHI (vuông tại H) và tam giác BHI (vuông tại H) có:

IH là cạnh chung

AI = BI (chứng minh trên)

Suy ra ∆AHI = ∆BHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó $\widehat{AIH}=\widehat{BIH}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia IH là tia phân giác của góc AIB.

Vậy IH là tia phân giác của góc AIB.

Bài 3 trang 86, trang 87 Toán 7 Tập 2: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):

– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.

– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.

Khi đó, E là vị trí của cây cầu.

Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì

MA + MB > EA + EB.

Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?

Lời giải

Vị trí của hai xã và bờ sông Lam được mô tả như hình vẽ.

GT	Đường thẳng d, A, B nằm cùng một phía với d $AH\perp d$(H ∈d), AH = HC BC cắt d tại E, M ∈d
KL	Khẳng định MA + MB > EA + EB là đúng hay sai? Vì sao?

Chứng minh (Hình dưới đây):

Nối đoạn thẳng CM.

+) Vì $AH\perp d$ (H ∈ d) nên $\widehat{AHE}=\widehat{CHE}=90°$

Do đó tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H).

Xét tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H) ta có:

AH = CH (giả thiết)

HE là cạnh chung

Suy ra ∆AHE = ∆CHE (hai cạnh góc vuông)

Do đó AE = CE (hai cạnh tương ứng)

Nên EA + EB = EC + EB = BC.(1)

+) Chứng minh tương tự với hai tam giác AHM (vuông tại H) và CHM (vuông tại A) có:

AH = CH (giả thiết)

AM là cạnh chung

Suy ra ∆AHM = ∆CHM (hai cạnh góc vuông)

Do đó AM = CM (hai cạnh tương ứng)

Nên MA + MB = MC + MB(2)

+ Xét tam giác BCM có: MC + MB > BC (bất đẳng thức tam giác)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: MA + MB > EA + EB.

Vậy MA + MB > EA + EB.

Giải Toán 7 trang 87Tập 2

Bài 4 trang 87 Toán 7 Tập 2:Cho $∆$ABC = $∆$MNP. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh:

a) AD = MQ;

b) DE = QR.

Lời giải

GT	$∆$ABC = $∆$MNP, D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA, Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM
KL	a) AD = MQ; b) DE = QR.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Vì $∆$ABC = $∆$MNP (giả thiết) nên:

+) AC = MP (hai cạnh tương ứng)

+) BC = NP (hai cạnh tương ứng)

+) $\widehat{C}=\widehat{P}$ (hai góc tương ứng)

Vì D là trung điểm của BC (giả thiết) nên BD = DC = $\frac{1}{2}BC$;

E là trung điểm của AC (giả thiết) nên AE = EC = $\frac{1}{2}AC$;

Q là trung điểm của NP (giả thiết) nên NQ = QP = $\frac{1}{2}NP$;

R là trung điểm của MP (giả thiết) nên MR = RP = $\frac{1}{2}MP$.

Do đó ta có BD = DC = NQ = QP và AE = EC = MR = RP.

a) Xét tam giác ADC và tam giác MQP có:

AC = MP (chứng minh trên)

$\widehat{C}=\widehat{P}$ (chứng minh trên)

DC = QP (chứng minh trên)

Suy ra $∆$ADC = $∆$MQP (c.g.c)

Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng)

Vậy AD = MQ.

b) Xét tam giác CDE và tam giác PQR có:

CD = PQ (chứng minh trên)

$\widehat{C}=\widehat{P}$ (chứng minh trên)

CE = PR (chứng minh trên)

Suy ra $∆$CDE = $∆$PQR (c.g.c)

Do đó DE = QR (hai cạnh tương ứng)

Vậy DE = QR.

Lý thuyết Toán 7 Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh - Cánh diều

1. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

– Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}$, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.g.c).

Ví dụ: Biết chỉ cần thêm một điều kiện thì hai tam giác trong mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Hãy nêu điều kiện đó tương ứng cho mỗi hình.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{\mathrm{GKH}}=\widehat{\mathrm{EKF}}$ (đối đỉnh) và KG = KF.

Để DKGH và DKEF bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện còn thiếu là điều kiện về cạnh sao cho cặp góc bằng nhau là góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.

Mà $\widehat{\mathrm{GKH}}$ của DKGH xen giữa hai cạnh KG và KH;

$\widehat{\mathrm{EKF}}$ của DKEF xen giữa hai cạnh KE và KF.

Do đó điều kiện còn thiếu là KH = KE.

Vậy điều kiện cần thêm để DKGH = DKFE là KH = KE.

b) Ta có: BC = BD và AB là cạnh chung.

Để DABC và DABD bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện còn thiếu là điều kiện về góc sao cho cặp góc bằng nhau là góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.

Mà góc xen giữa hai cạnh BC và BA của DABC là $\widehat{\mathrm{ABC}};$

Góc xen giữa hai cạnh BD và BA của DABD là $\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Do đó điều kiện còn thiếu là $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Vậy điều kiện cần thêm để DABC = DABD là $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC (AB < AC) có tia phân giác góc A cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh rằng:

a) DABD = DAED.

b) DA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BDE}}.$

Hướng dẫn giải

Xét DABD và DAED có:

AB = AE (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{EAD}}$ (do AD là tia phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$),

AD là cạnh chung.

Do đó DABD = DAED (c.g.c)

Vậy DABD = DAED (c.g.c).

b) Vì DABD = DAED (chứng minh phần a)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BDA}}=\widehat{\mathrm{EDA}}$ (hai góc tương ứng)

Do đó DA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BDE}}.$

Vậy DA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BDE}}.$

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°,$AB = A’B’, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AH ⊥ BC (H ∈ BC) và H là trung điểm của BC. Biết AB = 3 cm. Tính AC.

Hướng dẫn giải

Xét DABH và DACH có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{CHA}}=90°$ (giả thiết),

AH là cạnh chung,

BH = CH (giả thiết),

Do đó DABH = DACH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) .

Mà AB = 3 cm nên AC = 3 cm.

Vậy độ dài cạnh AC là 3 cm.

3. Vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=50°$bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ $\widehat{\mathrm{xAy}}=50°$

– Bước 2: Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3 cm, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 5 cm

– Bước 3: Vẽ đoạn thẳng BC. Ta được tam giác ABC.