Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng

Giải Toán 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Video Giải Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2

Lời giải

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x > 2, y > 4).

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}xy$ (cm²)

+ Tăng mỗi cạnh lên 3cm thì tam giác vuông mới có độ dài 2 cạnh là x + 3(cm) và y + 3 (cm)

Diện tích tam giác mới là: $\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y+3\right)$ (cm²)

Vì diện tích tăng thêm 36cm² nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2}xy+36=\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y+3\right)\iff xy+72=\left(x+3\right)\left(y+3\right)\iff xy+72=xy+3x+3y+9\iff 3x+3y=72-9$

$\iff 3x+3y=63\iff x+y=21\left(1\right)$

+ Giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì tam giác vuông mới có 2 cạnh là : x – 2 (cm) và y – 4 (cm).

Diện tích tam giác mới là: $\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-4\right)$ (cm²).

Diện tích giảm đi 26cm² nên ta có phương trình

$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-4\right)+26\iff xy=\left(x-2\right)\left(y-4\right)+52\iff xy=xy-2y-4x+8+52\iff 4x+2y=60\iff 2x+y=30\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}x+y=21\\ 2x+y=30\end{array}\iff \begin{array}{l}\left(2x+y\right)-\left(x+y\right)=30-21\\ x+y=21\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+y-x-y=9\\ x+y=21\end{array}\iff \begin{array}{l}x=9\\ 9+y=21\end{array}\iff \begin{array}{l}x=9\\ y=21-9\end{array}\iff \begin{array}{l}x=9\\ y=12\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 9cm và 12cm.