Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

Giải Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận 

Bài 2 trang 30 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $y=\frac{2-x}{9-x^2};$

b) $y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$;

c) $y=\frac{x^2-3x+2}{x+1};$

d) $y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{2-x}{9-x^2}=\frac{2-x}{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}$

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2-x}{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}=+\infty$

Suy ra x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{2-x}{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}=+\infty$

Suy ra x = -3 là một tiệm cận đứng khác của đồ thị hàm số.

Lại có:

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-x}{9-x^2}=\frac{\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}}{\frac{9}{x^2}-1}=0$

Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là x = -3 và x = 3; đường tiệm cận ngang là y = 0.

b) Ta có:

$y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}=\frac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)\left(3-5x\right)}$

Do $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)\left(3-5x\right)}=-\infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to {\left(\frac{3}{5}\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)\left(3-5x\right)}=-\infty$

Suy ra $x=\frac{3}{5}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}=\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}-5}=\frac{-1}{5}$

Suy ra $y=\frac{-1}{5}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là x = -1 và $x=\frac{3}{5}$ và một tiệm cận ngang là  $y=\frac{-1}{5}$.

c) Ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x+1}=+\infty$

Suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=+\infty$

Suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -1.

d) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty$

Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}=1$

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x = 1 và một tiệm cận ngang là y = 1.