Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận 

Bài 1 trang 30 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $y=\frac{x}{2-x}$;

b) $y=\frac{-x+7}{x+1}$;

c) $y=\frac{2x-5}{5x-2}$;

d) $y=\frac{7}{x}-1.$

Lời giải:

a) Ta có:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x}{2-x}=+\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}=-\infty$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2.

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{2-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{2}{x}-1}=-1$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{2-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{2}{x}-1}=-1$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = –1.

b) Ta có:

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{-x+7}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{-x+7}{x+1}=+\infty$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = –1.

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+7}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{7}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-1\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x+7}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{7}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-1$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = –1.

c) Ta có:

$\underset{x\to {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x-5}{5x-2}=+\infty ;\underset{x\to {\left(\frac{2}{5}\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x-5}{5x-2}=-\infty ;$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=\frac{2}{5}.$

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-5}{5x-2}=\frac{2-\frac{5}{x}}{5-\frac{2}{x}}=\frac{2}{5};\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-5}{5x-2}=\frac{2-\frac{5}{x}}{5-\frac{2}{x}}=\frac{2}{5}$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = $\frac{2}{5}$.

d) Ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{7}{x}-1\right)=+\infty ;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(\frac{7}{x}-1\right)=-\infty$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0 (trục Oy)

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{7}{x}-1\right)=-1;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{7}{x}-1\right)=-1$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = -1.