Tìm các giá trị của tham số m để

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2$là tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℝ,

b) $f\left(x\right)=m{x}^2-7x+4$là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ;

c) $f\left(x\right)=3x^2-4x+\left(3m-1\right)$là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ;

d) $f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải:

a) f (x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 hay m ≠–1

f (x) không đổi dấu trên ℝ khi và chỉ khi ∆ = b² – 4ac = 5² – 4.( m + 1 ). 2 < 0

⇔ 17 – 8m < 0

⇔ m > $\frac{17}{8}$.

Vậy m > $\frac{17}{8}$thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi m < 0 và

∆ = b² – 4ac = 49 – 16m < 0 ⇔ m > $\frac{49}{16}$

Do đó m thỏa mãn đồng thời m < 0 và m > $\frac{49}{16}$(vô lí).

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Do f (x) có a = 3 > 0 nên f (x) là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi ∆’ = 4 – 3.(3m – 1 ) < 0

⇔ 7 – 9m < 0

⇔ m > $\frac{7}{9}$

Vậy m > $\frac{7}{9}$thoả mãn yêu cầu đề bài.

d) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi a = m² + 1 < 0 và ∆ < 0.

Ta có m² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

⇒ a = m² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Như vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.