Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

Giải Toán 9 Bài 1: Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Video Giải Bài 3 trang 100 Toán lớp 9 tập 1

Bài 3 trang 100 Toán lớp 9 tập 1:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

a)

Giả sử có tam giác ABC vuông tại A.

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC.

Khi đó ta có: $OB=OC=\frac{1}{2}BC$ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A

AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

$\Rightarrow OA=\frac{1}{2}BC$ (2) (do tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Từ (1) và (2) ta có: $OA=OB=OC=\frac{1}{2}BC$

Do đó ba điểm A, B, C cách đều điểm O nên A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính $R=\frac{1}{2}BC$. Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền.

b)

Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC

A, B, C cùng nằm trên đường (O)

$\Rightarrow$OA = OC = OC = R

BC là đường kính của đường tròn (O)

$\Rightarrow OA=OB=OC=R=\frac{1}{2}BC$ (1)

O là tâm của đường tròn và BC là đường kính của đường tròn

$\Rightarrow$ O là trung điểm của BC

Do đó, AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông tại A. (do tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Vậy tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A. Hay nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.