Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì $\widehat{CBD}$có số đo không đổi

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A.

a)

Ta có:

$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AnB}$(góc nội tiếp trong đường tròn (O))

$\widehat{ADB}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AmB}$(góc nội tiếp trong đường tròn (O’))

Vì điểm A, B cố định nên sđ$\stackrel{⏜}{AnB}$, sđ$\stackrel{⏜}{AmB}$không thay đổi

Vì vậy $\widehat{ACB}$,$\widehat{ADB}$ có số đo không đổi

Ta có:  $\widehat{CBD}+\widehat{ACB}+\widehat{ADB}={180}^o$

 $\Rightarrow \widehat{CBD}={180}^o-\left(\widehat{ACB}+\widehat{ADB}\right)$ không đổi do $\widehat{ACB}$, $\widehat{ADB}$có số đo không đổi (chứng minh trên)

Vậy số đo $\widehat{CBD}$luôn không đổi khi cát tuyến CAD thay đổi.

b)

Trong đường tròn (O) ta có:

 $\widehat{ABC}=\widehat{MCA}$(hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (1)

Trong đường tròn (O’) ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{MDA}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{MCA}+\widehat{MDA}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

Hay $\widehat{MCD}+\widehat{MDC}=\widehat{CBD}$(không đổi do câu a)

Xét tam giác MCD có: $\widehat{CMD}={180}^o-\left(\widehat{MCD}+\widehat{MDC}\right)={180}^o-\widehat{CBD}$

Do đó,  $\widehat{CMD}$không đổi do $\widehat{CBD}$không đổi

Vậy $\widehat{CMD}$không đổi.

Suy ra điều phải chứng minh.