Giải Toán 10 trang 90 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Bài 5.24 trang 90 Toán 10 Tập 1: Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị triệu người).

a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.

c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?

Lời giải:

Ta thấy có tất cả 11 tỉnh thành nên n = 11.

Số trung bình của dãy số liệu trên là:

$\frac{7,52+1,09+1,25+1,27+1,81+2,01+1,19+1,79+0,81+1,85+0,97}{11}=1,96$

Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79, 1,81; 1,85; 2,01; 7,52.

Vì n = 11 là một số lẻ nên trung vị là số chính giữa là: Q₂ = 1,27.

b) Ta thấy 7,52 lệch hẳn so với các số liệu còn lại trong dãy số liệu nên đây là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Mà số trung bình thì ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Do đó, số trung bình và trung vị có sự sai khác nhiều.

c) Do có giá trị 7,52 là giá trị khác biệt so với các giá trị còn lại nên gây ảnh hưởng đến số trung bình.

Do đó, ta nên sử dụng số trung vị để đại diện cho dân số các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ.

Bài 5.25 trang 90 Toán 10 Tập 1: Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:

Đồng bằng sông Hồng: 18734354654573739235727.

Đồng bằng sông Cửu Long: 33343329243942242319241526.

(Theo Tổng cục Thống kê)

a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.

b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?

c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

Lời giải

a)

∙ Đồng bằng sông Hồng: 18734354654573739235727.

Ta có: n = 11.

Số trung bình: 

$\overline{X}=\frac{187+34+35+46+54+57+37+39+23+57+27}{11}\approx 54,18.$

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:

23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187.

Vì n = 11 là số lẻ nên trung vị Q₂ = 39.

Nửa số liệu bên trái có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là: Q₁ = 34.

Nửa số liệu bên phải có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là: Q₃ = 57.

Khoảng tứ phân vị là:

Δ_Q = Q₃ – Q₁ = 57 – 34 = 23.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 187 và giá trị nhỏ nhất là 23. Khi đó khoảng biến thiên là: R = 187 – 23 = 164.

Theo quan sát số liệu, ta thấy giá trị 57 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 57.

Ta có bảng sau:

Phương sai: $s^2\approx \frac{20735,68}{11}\approx 1885,06$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{1885,06}\approx 43,42$

∙ Đồng bằng sông Cửu Long: 33343329243942242319241526.

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\overline{X^{\text{'}}}=\frac{33+34+33+29+24+39+42+24+23+19+24+15+26}{13}\approx 28,08.$ 

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:

15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 42.

Vì n' = 13 là số lẻ nên trung vị Q'₂ = 26.

Nửa số liệu bên trái có 6 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là: Q'₁ = (23 + 24):2 = 23,5.

Nửa số liệu bên phải có 6 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là: Q'₃ = (33 + 34):2 = 33,5.

Khoảng tứ phân vị là:

Δ'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 33,5 – 23,5 = 10.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 42 và giá trị nhỏ nhất là 15. Khi đó khoảng biến thiên là: R' = 42 – 15 = 27.

Theo quan sát số liệu, ta thấy giá trị 24 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 24.

Ta có bảng sau:

Phương sai: ${s^{\text{'}}}^2\approx$$\frac{730,93}{13}\approx 56,23$.

Độ lệch chuẩn: $s^{\text{'}}=\sqrt{{s^{\text{'}}}^2}\approx$$\sqrt{56,23}\approx 7,5$.

b) Số trung bình sai khác vì ở Đồng bằng sông Hồng thì có giá trị bất thường là 187 (cao hơn hẳn so với các giá trị còn lại), còn ở Đồng bằng sông Cửu Long thì không có giá trị bất thường.

Chính giá trị bất thường làm nên sự sai khác đó, còn trung vị không bị ảnh hưởng đến giá trị bất thường nên trung vị ở hai mẫu số liệu không khác nhau quá nhiều.

c) Giá trị bất thường ảnh hưởng đến khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, còn với khoảng tứ phân vị thì không (khoảng tứ phân vị đo 50% giá trị ở chính giữa).

Bài 5.26 trang 90 Toán 10 Tập 1: Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng tương ứng với độ tuổi) của 10 tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:

5,513,810,212,211,07,411,413,112,513,4.

(Theo Tổng cục Thống kê)

a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{X}=\frac{5,5+13,8+10,2+12,2+11,0+7,4+11,4+13,1+12,5+13,4}{10}=11,05$

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5,5; 7,4; 10,2; 11,0; 11,4; 12,2; 12,5; 13,1; 13,4; 13,8.

Vì n = 10 là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

(11,4 + 12,2) : 2 = 11,8.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 13,8 và giá trị nhỏ nhất là 5,5.

Khi đó khoảng biến thiên là: R = 13,8 – 5,5 = 8,3.

Phương sai: $s^2\approx \frac{65,6850}{10}\approx 6,57$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{6,57}\approx 2,56$

Vậy số trung bình là 11,05; trung vị là 11, 8; khoảng biến thiên là 8,3 và độ lệch chuẩn là 2,56.

b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu:

5,5; 7,4; 10,2; 11,0; 11,4; 12,2; 12,5; 13,1; 13,4; 13,8.

Ta được:

6 ; 7; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 14.

Làm trò các số liệu trong mẫu:

Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá 0,5.