Giải Toán 10 trang 28 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 28 Tập 1

Luyện tập 2 trang 28 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

$\begin{array}{l}x\ge 0\\ y>0\\ x+y\le 100\\ 2x+y<120\end{array}$

Lời giải

+) Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x$\ge$0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0), kể cả đường thẳng Oy.

+) Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1), không kể đường thẳng Ox.

+) Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100.

Ta vẽ đường thẳng x + y = 100 (d₁). Lấy điểm O(0; 0)thay tọa độ điểm này vào x + y ta được: 0 + 0 < 100. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm O kể cả bờ là đường thẳng d₁.

+) Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120

Ta vẽ đường thẳng 2x + y = 120 (d'). Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm này vào 2x + y ta được: 2.0 + 0 < 120. Vậy miền nghiệm D₄ của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d' chứa điểm O không kể bờ là đường thẳng d'_.

3.Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ 3 trang 28 Toán 10 Tập 1: Xét biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là O(0;0), A(150; 0) và B(0; 150) (H.2.5).

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

Lời giải

a) O(0; 0); B(0; 150); A(150; 0).

Ta có: F(x; y) = 2x + 3y.

Khi đó ta tính được:

F(0; 0) = 2.0 + 3.0 = 0.

F(150; 0) = 2.150 + 3.0 = 300

F(0; 150) = 2.0 + 3.150 = 150

b) Trong miền tam giác OAB, lấy một điểm M(x; y) bất kì thì ta luôn có x $\ge$0; y$\ge$0 nên F(x; y) nhỏ nhất khi x = 0 và y = 0.

F(x; y) min = 2.0 + 3.0 = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là 0.

c) Vì điểm M(x; y) nằm trong miền tam giác OAB, nên tọa độ điểm M là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 150.

Hơn nữa, x ≥ 0, y ≥ 0 nên x + y ≥ 0.

Do đó ta có, 0 ≤ x + y ≤ 150 ⇔ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 300

⇔ 0 + y ≤ 2x + 2y + y ≤ 300 + y

⇔ y ≤ 2x + 3y ≤ 300 + y (1)

Mà 0 ≤ y ≤ 150 nên 300 + y ≤ 300 + 150 = 450.  

Từ (1) suy ra: 0 ≤ 2x + 3y ≤ 450 hay F(x; y) ≤ 450.

Dấu “=” xảy ra khi x + y = 150 và y = 150 hay x = 0 và y = 150.

Vậy F(x; y)đạt giá trị lớn nhất là 450 tại điểm B(0; 150).