Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: 3x + y = 3 và 2x - y = 7

Giải Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Video Giải Bài 20 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 20 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2:

a) $\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$

b) $\begin{array}{l}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}$

c) $\begin{array}{l}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}$

d) $\begin{array}{l}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}$

e) $\begin{array}{l}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$

*Phương pháp giải

1. Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
2. Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)

*Lời giải:

a) $\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}\iff \begin{array}{l}3x+y+2x-y=3+7\\ 2x-y=7\end{array}$

(cộng vế với vế của hai phương trình)

$\iff \begin{array}{l}5x=10\\ 2x-y=7\end{array}\iff \begin{array}{l}x=10:5\\ 2x-y=7\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2\\ 2.2-y=7\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2\\ y=4-7=-3\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; -3).

b)$\begin{array}{l}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\left(2x+5y\right)-\left(2x-3y\right)=8-0\\ 2x-3y=0\end{array}$ (trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$\iff \begin{array}{l}2x+5y-2x+3y=8\\ 2x-3y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}8y=8\\ 2x-3y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}y=8:8\\ 2x-3y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-3.1=0\\ y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-3=0\\ y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2x=3\\ y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = $\left(\frac{3}{2};1\right)$.

c) $\begin{array}{l}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+3y=6\\ 4x+2y=8\end{array}$

(nhân cả hai vế phương trình thứ hai với 2)

$\iff \begin{array}{l}4x+3y=6\\ \left(4x+3y\right)-\left(4x+2y\right)=6-8\end{array}$ (Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$\iff \begin{array}{l}4x+3y=6\\ 4x+3y-4x-2y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+3y=6\\ y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+3.(-2)=6\\ y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}4x=6+6\\ y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}4x=12\\ y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=3\\ y=-2\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; -2).

d) $\begin{array}{l}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}6x+9y=-6\\ 6x-4y=-6\end{array}$

(Ta nhân cả hai vế của phương trình một với 3 và phương trình hai với 2)

$\iff \begin{array}{l}6x+9y=-6\\ \left(6x+9y\right)-\left(6x-4y\right)=(-6)-(-6)\end{array}$ (trừ vế với vế của phương thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$\iff \begin{array}{l}6x+9y=-6\\ 6x+9y-6x+4y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6x+9y=-6\\ 13y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6x+9y=-6\\ y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6x+9.0=-6\\ y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6x=-6\\ y=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (-1; 0).

(Ta nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 5)

(trừ vế với vế của phương thứ nhất cho phương trình thứ hai)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (5; 3)

*Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1:Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2:Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bước 3:Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.