Giải bài tập trang 52 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 52 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai (1).

+) Hypebol có một đường chuẩn là

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{256}-\frac{y^2}{768}=1.$

Vận dụng trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.10⁸ km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15).

Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 10⁸ km trên thực tế.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của hypebol.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.10⁸ km $\Rightarrow$c – a = 3.

– Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{60,84}-\frac{y^2}{55,8}=1.$

Bài 3.7 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$. Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 4 $\Rightarrow$a = 3, b = 2, c = $\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–3; 0), A₂(3; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.

Tâm sai e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}.$

Phương trình các đường chuẩn của hypebol là: ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-\frac{9}{\sqrt{13}},$${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}\iff x=\frac{9}{\sqrt{13}}.$

Bài 3.8 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 7 $\Rightarrow a=3,c=\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{9+7}=4.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng $2\sqrt{13}$, một đường tiệm cận là $y=\frac{2}{3}x$;

c) (H) có tâm sai $e=\sqrt{5}$, và đi qua điểm $(\sqrt{10};6)$.

Lời giải:

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4$\Rightarrow$a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 $\Rightarrow$2c = 10 $\Rightarrow$c = 5 $\Rightarrow$b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y=\frac{2}{3}x$$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{b}{2}=\frac{a}{3}\Rightarrow \frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{9}$$=\frac{b^2+a^2}{4+9}=\frac{c^2}{13}=\frac{{\left(\sqrt{13}\right)}^2}{13}=1$$\Rightarrow \begin{array}{l}{b}^2=4\\ a^2=9\end{array}.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai

 

+) Hypebol đi qua điểm $(\sqrt{10};6)$$\Rightarrow$$\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2}{a^2}-\frac{6^2}{b^2}=1$$\Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{36}{b^2}=1$(2).

Thế (1) vào (2) ta được:

$\Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{36}{4a^2}=1\Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{9}{a^2}=1\Rightarrow \frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a^2=1\Rightarrow b^2=4.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1.$

Bài tập 3.10 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của một hypebol vuông là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Vì độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo nên a = b $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow$Tâm sai e = $\frac{c}{a}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}.$

Phương trình hai đường tiệm cận là: $y=-\frac{b}{a}x\iff y=-x$và $y=\frac{b}{a}x\iff y=x.$

Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d₁ : $y=-\frac{b}{a}x$hay bx + ay = 0 và d₂ : $y=\frac{b}{a}x$hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d₁) = $\frac{\left.bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$, d(M, d₂) = $\frac{\left.bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$.

$\iff$d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left.bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}.\frac{\left.bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$$=\frac{\left.{\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2\right|}{a^2+b^2}$(*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2{b}^2-a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=1$

$\Rightarrow {\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2=a^2{b}^2$

Thay vào (*) ta được: d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left.a^2{b}^2\right|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$(không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Bài 3.12 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).

Lời giải:

Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);

t_A, t_B, t_C, t_D lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;

M là vị trí của tàu thuỷ.

a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:

MB – MC = v.t_B – v.t_C = v(t_B – t_C) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).

b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:

MA – MD = v.t_D – v.t_A = v(t_D – t_A) = 292000 . 0,001 = 292 (km).

c)

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₁) nhận B, C làm tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$(a₁ > 0, b₁ > 0).

Vì MB – MC = 146 nên 2a₁ = 146 $\Rightarrow$a₁ = 73$\Rightarrow a_1^2$= 5329.

Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₁ = 100

$\Rightarrow b_1^2=c_1^2-a_1^2$= 100² – 73² = 4671.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₁) là $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{4671}=1.$

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₂) nhận A, D làm tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1$(a₂ > 0, b₂ > 0).

Vì MA – MD = 29,2 nên 2a₂ = 292 $\Rightarrow$a₂ = 146

Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₂ = 300

$\Rightarrow b_2^2=c_2^2-a_2^2$= 300² – 146² = 68684.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₂) là $\frac{x^2}{21316}-\frac{y^2}{68684}=1.$

Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H₁) và (H₂) nên ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{4671}=1\\ \frac{x^2}{21316}-\frac{y^2}{68684}=1\end{array}$$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}^2=\frac{341125277}{12500}\\ y^2=\frac{240617223}{12500}\end{array}$$\Rightarrow \begin{array}{l}x\approx 165\\ y\approx 139\end{array}$(vì theo hình vẽ x, y > 0)

d) MB = $\sqrt{{\left.165-\left(-100\right)\right]}^2+{\left(139-0\right)}^2}$≈ 299 (km);

MC = $\sqrt{{\left(165-100\right)}^2+{\left(139-0\right)}^2}$≈ 153 (km).