Giải bài tập trang 49, 50 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 49, 50

HĐ2 trang 49 Chuyên đề Toán 10:

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a.

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₂(a; 0), tức là, MF₁ – MF₂ = 2a. Tính MF₁ + MF₂, MF₁, MF₂.

c) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₁(–a; 0), tức là, MF₂ – MF₁ = 2a. Tính MF₁ + MF₂, MF₁, MF₂.

Lời giải:

a) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)2a = 4cx

$\Rightarrow$MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= $\frac{2cx}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $\frac{2c}{a}x$+ 2a $\Rightarrow$2MF₁ = $\frac{2c}{a}x$+ 2a

$\Rightarrow$MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x $=\left.a+\frac{c}{a}x\right|.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $\frac{2c}{a}x$– 2a $\Rightarrow$2MF₂ = $\frac{2c}{a}x$– 2a

$\Rightarrow$MF₂ = $\frac{c}{a}$x – a $=\left.a-\frac{c}{a}x\right|.$

c) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= –$\frac{2cx}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = –$\frac{2c}{a}x$+ (–2a) $\Rightarrow$2MF₁ = –$\frac{2c}{a}x$– 2a

$\Rightarrow$MF₁ =$-\left(\frac{c}{a}x+a\right)$ $=\left.a+\frac{c}{a}x\right|.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = –$\frac{2c}{a}x$– (–2a) $\Rightarrow$2MF₂ = –$\frac{2c}{a}x$+ 2a

$\Rightarrow$MF₂ = a –$\frac{c}{a}$x $=\left.a-\frac{c}{a}x\right|.$

Luyện tập 2 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}$Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Lời giải:

Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}\Rightarrow$2a = 6, 2b = 6

$\Rightarrow$a = 3, b = 3$\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=6.$

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ $=\left.a+\frac{c}{a}x\right|$$=\left.3+\frac{6}{3}.9\right|=21.$

MF₂ $=\left.a-\frac{c}{a}x\right|$$=\left.3-\frac{6}{3}.9\right|=15.$

Luyện tập 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF₂ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

Lời giải:

Có a² = 1, b² = 3 $\Rightarrow a=1,b=\sqrt{3}$$\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2.$

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₂ $=\left.a-\frac{c}{a}x\right|$$=\left.1-\frac{2}{1}.x\right|=\left.1-2x\right|.$

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF₂ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó MF₁ $=\left.a+\frac{c}{a}x\right|=\left.1+\frac{2}{1}.1\right|=3.$

HĐ3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0). Xét các đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}$và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$(H.3.14). Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$và $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}$theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: $x+0y+\frac{a^2}{c}=0.$Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left.x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left.x+\frac{a^2}{c}\right|.$

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left.a+\frac{c}{a}x\right|}{\left.x+\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left.\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left.\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left.\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left.x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left.x-\frac{a^2}{c}\right|.$

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left.a-\frac{c}{a}x\right|}{\left.x-\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left.\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left.\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left.\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$