Giải bài tập trang 47, 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 47, 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 47 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol, hãy so sánh |x₀| với a.

Lời giải:

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}$$=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}$$=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

b)

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên

$\frac{x_{A_{}}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_A^2=a^2\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_A=a\\ x_A=-a\end{array}.$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^2}{a^2}-\frac{y_{B_{}}^2}{b^2}=1\Rightarrow -\frac{y_{B_{}}^2}{b^2}=1$(vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Vì $\frac{y_0^2}{b^2}\ge 0$nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le 1\Rightarrow x_0^2\le a^2$$\Rightarrow \left|x_0\right|\le a.$

Luyện tập 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Lời giải:

a) Có a² = 64, b² = 36

$\Rightarrow \begin{array}{l}a=8,b=6\\ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=10\end{array}.$

Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.

b) Các đỉnh của hypebol là A₁(–8; 0), A₂(8; 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{6}{8}x=-\frac{3}{4}x$và $y=\frac{b}{a}x=\frac{6}{8}x=\frac{3}{4}x.$