Giải bài tập trang 11 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 11 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 11 Chuyên đề Toán 10:Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: $\begin{array}{l}2x-3y+4z=-5\\ -4x+5y-z=6\\ 3x+4y-3z=7\end{array}.$

Lời giải:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = $\frac{22}{101}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = $\frac{131}{101}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = $-\frac{39}{101}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $\left(\frac{22}{101};\frac{131}{101};-\frac{39}{101}\right).$

Bài 1 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Kiểm tra xem mỗi bộ số (x; y; z) đã cho có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không.

a) $\begin{array}{cc}x+3y+2z& =1\\ 5x-y+3z& =16\\ -3x+7y+z& =-14\end{array}$(0; 3; –2), (12; 5; –13), (1; –2; 3);

b) $\begin{array}{cc}3x-y+4z& =-10\\ -x+y+2z& =6\\ 2x-y+z& =-8\end{array}$(–2; 4; 0), (0; –3; 10), (1; –1; 5);

c) $\begin{array}{c}x+y+z=100\\ 5x+3y+\frac{1}{3}z=100\end{array}$(4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84).

Lời giải:

a)

+) Thay bộ số (0; 3; –2) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

0 + 3 . 3 + 2 . (–2) = 1 $\iff$5 = 1 (sai). Vậy bộ số (0; 3; –2) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

+) Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

12 + 3 . 5 + 2 . (–13) = 1 $\iff$1 = 1 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 12 – 5 + 3 . (–13) = 16 $\iff$16 = 16 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

–3 . 12 + 7 . 5 + (–13) = –14 $\iff$–14 = –14 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

1 + 3 . (–2) + 2 . 3 = 1 $\iff$1 = 1 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 1 – (–2) + 3 . 3 = 16 $\iff$16 = 16 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

–3 . 1 + 7 . (–2) + 3 = –14 $\iff$–14 = –14 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b)

+) Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . (–2) – 4 + 4 . 0 = –10 $\iff$–10 = ­–10 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

– (–2) + 4 + 2 . 0 = 6 $\iff$6 = ­6 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

2 . (–2) – 4 + 0 = –8 $\iff$–8 = ­–8 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (0; –3; 10) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . 0 – (–3) + 4 . 10 = –10 $\iff$43 = ­–10 (sai). Vậy bộ số (0; –3; 10) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

+) Thay bộ số (1; –1; 5) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . 1 – (–1) + 4 . 5 = –10 $\iff$24 = ­–10 (sai). Vậy bộ số (1; –1; 5) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

c)

+) Thay bộ số (4; 18; 78) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

4 + 18 + 78 = 100 $\iff$100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (4; 18; 78) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 4 + 3 . 18 + $\frac{1}{3}$. 78 = 100 $\iff$100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (8; 11; 81) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

8 + 11 + 81 = 100 $\iff$100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (8; 11; 81) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 8 + 3 . 11 + $\frac{1}{3}$. 81 = 100 $\iff$100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (12; 4; 84) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

12 + 4 + 84 = 100 $\iff$100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 4; 84) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 12 + 3 . 4 + $\frac{1}{3}$. 84 = 100 $\iff$100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 2 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình:

a) $\begin{array}{ll}x-2y+4z& =4\\ 3y-z& =2\\ 2z& =-10;\end{array}$b) $\begin{array}{ll}4x+3y-5z& =-7\\ 2y& =4\\ y+z& =3;\end{array}$

c) $\begin{array}{ll}x+y+2z& =0\\ 3x+2y& =2\\ x& =10.\end{array}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{ll}x-2y+4z& =4\\ 3y-z& =2\\ 2z& =-10\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y+4z=4\\ 3y-z=2\\ z=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y+4z=4\\ 3y-\left(-5\right)=2\\ z=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y+4z=4\\ y=-1\\ z=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x-2.\left(-1\right)+4.\left(-5\right)=4\\ y=-1\\ z=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}x=22\\ y=-1\\ z=-5\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (22; –1; –5).

b) 

$\begin{array}{ll}4x+3y-5z& =-7\\ 2y& =4\\ y+z& =3\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+3y-5z=-7\\ y=2\\ y+z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+3y-5z=-7\\ y=2\\ 2+z=3\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}4x+3y-5z=-7\\ y=2\\ z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+3.2-5.1=-7\\ y=2\\ z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-2\\ y=2\\ z=1\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (–2; 2; 1).

c)

$\begin{array}{ll}x+y+2z& =0\\ 3x+2y& =2\\ x& =10\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+2z=0\\ 3.10+2y=2\\ x=10\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+2z=0\\ y=-14\\ x=10\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}10+\left(-14\right)+2z=0\\ y=-14\\ x=10\end{array}\iff \begin{array}{l}z=2\\ y=-14\\ x=10\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –14; 10).

Bài 3 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình:

a) $\begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ 2x+y+3z=6\\ 6x-y-4z=9;\end{array}$

b) $\begin{array}{r}x+2y+6z=5\\ -x+y-2z=3\\ x-4y-2z=1;\end{array}$

c) $\begin{array}{c}x+4y-2z=2\\ -3x+y+z=-2\\ 5x+7y-5z=6.\end{array}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ 2x+y+3z=6\\ 6x-y-4z=9\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ -5y-13z=-8\\ 6x-y-4z=9\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ -5y-13z=-8\\ -y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ -5.\left(-1\right)-13z=-8\\ y=-1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ -5.\left(-1\right)-13z=-8\\ y=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-\left(-1\right)-2.1=5\\ z=1\\ y=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2\\ z=1\\ y=-1\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –1; 1)

b) 

$\begin{array}{r}x+2y+6z=5\\ -x+y-2z=3\\ x-4y-2z=1\end{array}\iff \begin{array}{r}x+2y+6z=5\\ 3y+4z=8\\ 6y+8z=6\end{array}\iff \begin{array}{r}x+2y+6z=5\\ 3y+4z=8\\ 3y+4z=3\end{array}\iff \begin{array}{r}x+2y+6z=5\\ 3y+4z=8\\ 0=5\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

c) 

$\begin{array}{c}x+4y-2z=2\\ -3x+y+z=-2\\ 5x+7y-5z=6\end{array}\iff \begin{array}{c}x+4y-2z=2\\ 13y-5z=4\\ 5x+7y-5z=6\end{array}\iff \begin{array}{c}x+4y-2z=2\\ 13y-5z=4\left(2\right)\\ 13y-5z=4\left(3\right)\end{array}$

Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó, hệ phương trình đưa về:

$\begin{array}{l}x+4y-2z=2\\ 13y-5z=4\end{array}\iff \begin{array}{l}x+4y=2z+2\\ y=\frac{5z+4}{13}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{6z+10}{13}\\ y=\frac{5z+4}{13}\end{array}.$

Đặt z = t với t là số thực bất kì, ta có: $x=\frac{6t+10}{13},y=\frac{5t+4}{13}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm (x ; y ; z) = $\left(\frac{6t+10}{13};\frac{5t+4}{13};t\right)$với t là số thực bất kì.

Bài 4 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Tìm số đo ba góc của một tam giác, biết tổng số đo của góc thứ nhất và góc thứ hai bằng hai lần số đo của góc thứ ba, số đo của góc thứ nhất lớn hơn số đo của góc thứ ba là 20^o.

Lời giải:

Gọi số đo góc thứ nhất, thứ hai, thứ ba của tam giác lần lượt là x, y, z (độ).

Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180^o nên x + y + z = 180 (1)

Theo đề bài ta có: x + y = 2z (2) và x – z = 20 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}x+y+z=180\\ x+y=2z\\ x-z=20\end{array}.$

$\begin{array}{l}x+y+z=180\\ x+y=2z\\ x-z=20\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=180\\ x+y-2z=0\\ x-z=20\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=180\\ 3z=180\\ y+2z=200\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x+y+z=180\\ z=60\\ y+2.60=200\end{array}\iff \begin{array}{l}x+80+60=180\\ z=60\\ y=80\end{array}\iff \begin{array}{l}x=40\\ z=60\\ y=80\end{array}.$

Vậy số đo ba góc của tam giác đã cho là 40^o, 80⁰, 60^o.