Đố. Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax^2 + bx + c = 0 vô nghiệm

Giải Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 19 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2: 

Lời giải:

Ta có: ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{a}\left({\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{x}\right)+\mathrm{c}$

= $\mathrm{a}\left.{\mathrm{x}}^2+2.\mathrm{x}.\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}+{\left(\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2\right]+\mathrm{c}$

= $\mathrm{a}\left.{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2-\frac{{\mathrm{b}}^2}{4{\mathrm{a}}^2}\right]+\mathrm{c}$

= $\mathrm{a}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2-\frac{{\mathrm{b}}^2}{4\mathrm{a}}+\mathrm{c}$

= $=\mathrm{a}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2-\frac{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}}{4\mathrm{a}}$

Ta có: a > 0 (giả thuyết) và ${\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2\ge 0$ với mọi x, a, b

$\Rightarrow \mathrm{a}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2\ge 0$ với mọi a > 0; x, b tùy ý.   (1)

Phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm nên:

Do a > 0 nên $\frac{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}}{4\mathrm{a}}<0$

$\Rightarrow -\frac{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}}{4\mathrm{a}}>0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{a}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2-\frac{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}}{4\mathrm{a}}>0$ với mọi x.