Anonymous

Đố. Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax^2 + bx + c = 0 vô nghiệm

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 19 trang 49 SGK Toán 9 Tập 2:

Ta có: ${ax}^{2} + bx + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$

= $a x^{2} + 2 . x . \frac{b}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}] + c$

= $a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c$

= $a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

= $= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 ac}{4 a}$

Ta có: a > 0 (giả thuyết) và ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} \geq 0$ với mọi x, a, b

$\Rightarrow a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} \geq 0$ với mọi a > 0; x, b tùy ý. (1)

Phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm nên:

Do a > 0 nên $\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a} < 0$

$\Rightarrow - \frac{b^{2} - 4 ac}{4 a} > 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: ${ax}^{2} + bx + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 ac}{4 a} > 0$ với mọi x.

Lời giải:

Ta có:

{ax}^{2} + bx + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c

a x^{2} + 2 . x . \frac{b}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}] + c

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c

= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 ac}{4 a}

Ta có: a > 0 (giả thuyết) và

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} \geq 0

với mọi x, a, b

\Rightarrow a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} \geq 0

với mọi a > 0; x, b tùy ý. (1)

Phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm nên:

Do a > 0 nên

\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a} < 0

\Rightarrow - \frac{b^{2} - 4 ac}{4 a} > 0

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

{ax}^{2} + bx + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 ac}{4 a} > 0

với mọi x.