Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Cho góc $\alpha \in \left(90°;180°\right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha$ và $cot\alpha$ cùng dấu.

B. Tích $\sin \alpha .\cot \alpha$ mang dấu âm.

C. Tích $\sin \alpha .cos\alpha$ mang dấu dương.

D. $\sin \alpha$ và $tan\alpha$ cùng dấu.

Lời giải

Chọn B

Với $\alpha \in \left(90°;180°\right)$, ta có $\sin \alpha >0,\cos \alpha <0$ suy ra: $\tan \alpha <0,\cot \alpha <0$

Vậy $\sin \alpha .\cot \alpha <0$

Câu 2: Cho $\alpha$ là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A. $\tan \alpha <0.$

B. $\cot \alpha >0.$

C. $\sin \alpha <0.$

D. $\cos \alpha >0.$

Lời giải

Chọn C

$\tan \alpha <0.$

Câu 3: Cho $0º<\alpha <90º$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cot \left(90º-\alpha \right)=-\tan \alpha$.

B. $\cos \left(90º-\alpha \right)=\sin \alpha$.

C. $\sin \left(90º-\alpha \right)=-\cos \alpha$.

D. $\tan \left(90º-\alpha \right)=-\cot \alpha$

Lời giải

Chọn B

Vì $\alpha$ và $\left(90º-\alpha \right)$ là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ nhau ta có đáp án B đúng.

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\tan \left({180}^{\text{o}}+a\right)=-\tan a$.

B. $\cos \left({180}^{\text{o}}+a\right)=-\cos a$

C. $\sin \left({180}^{\text{o}}+a\right)=\sin a$

D. $\cot \left({180}^{\text{o}}+a\right)=-\cot a$

Lời giải

Chọn B

Lý thuyết “cung hơn kém ${180}^{°}$”

Câu 5: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin \left({180}^{°}-\alpha \right)=-\sin \alpha$.

B. $\cos \left({180}^{°}-\alpha \right)=\cos \alpha$

C. $\tan \left({180}^{°}-\alpha \right)=\tan \alpha$

D. $\cot \left({180}^{°}-\alpha \right)=-\cot \alpha$

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 6: Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. $\sin \alpha =\sin \beta$

B. $\cos \alpha =-\cos \beta$

C. $\tan \alpha =-\tan \beta$

D. $\cot \alpha =\cot \beta$

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 7: Cho góc $\alpha$ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin \alpha <0$

B. $\cos \alpha >0$

C. $\tan \alpha >0$

D. $\cot \alpha <0$

Lời giải

Chọn D

Câu 8: Hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A. $\sin \alpha =\cos \beta$

B. $\tan \alpha =\cot \beta$

C. $\cot \beta =\frac{1}{\cot \alpha }$

D. $\cos \alpha =-\sin \beta$

Lời giải

Chọn D

$\cos \alpha =\cos \left({90}^{°}-\beta \right)=\sin \beta$.

Câu 9: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin {150}^{°}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\cos {150}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\tan {150}^{°}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\cot {150}^{°}=\sqrt{3}$

Lời giải

Chọn C

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. $\sin {90}^{°}<\sin {100}^{°}$

B. $\cos {95}^{°}>\cos {100}^{°}$

C. $\tan {85}^{°}<\tan {125}^{°}$

D. $\cos {145}^{°}>\cos {125}^{°}$

Lời giải

Chọn B

Câu 11: Giá trị của $\tan {45}^{°}+\cot {135}^{°}$bằng bao nhiêu?

A. $2$.

B. $0$

C. $\sqrt{3}$

D. $1$

Lời giải

Chọn B

$\tan {45}^{°}+\cot {135}^{°}=1-1=0$

Câu 12: Giá trị của $\cos {30}^{°}+\sin {60}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $1$

Lời giải

Chọn C

$\cos {30}^{°}+\sin {60}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Câu 13: Giá trị của $\cos {60}^{°}+\sin {30}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. 1

Lời giải

Chọn D

Ta có $\cos {60}^{°}+\sin {30}^{°}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

Câu 14: Giá trị của $\tan {30}^{°}+\cot {30}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{4}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{1+\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

D. 2.

Lời giải

Chọn A

$\tan {30}^{°}+\cot {30}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Câu 15: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. $\sin 0^{°}+\cos 0^{°}=1$

B. $\sin {90}^{°}+\cos {90}^{°}=1$

C. $\sin {180}^{°}+\cos {180}^{°}=-1$

D. $\sin {60}^{°}+\cos {60}^{°}=1$

Lời giải

Chọn D

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 16: Tính giá trị của biểu thức $P=\sin 30°\cos 60°+sin60°cos30°$

A. $P=1$

B. $P=0$

C. $P=\sqrt{3}$

D. $P=-\sqrt{3}$

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$P=\sin 30°\cos 60°+sin60°cos30°$

$=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

Câu 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\cos {60}^{°}=\sin {30}^{°}$

B. $\cos {60}^{°}=\sin {120}^{°}$

C. $\cos {30}^{°}=\sin {120}^{°}$

D. $\sin {60}^{°}=-\cos {120}^{°}$

Lời giải

Chọn B

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 18: Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\sin {45}^{°}+\sin {45}^{°}=\sqrt{2}$

B. $\sin {30}^{°}+\cos {60}^{°}=1$

C. $\sin {60}^{°}+\cos {150}^{°}=0$

D. $\sin {120}^{°}+\cos {30}^{°}=0$

Lời giải

Chọn D

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 19: Cho hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ ($\alpha <\beta )$) Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos \alpha <\cos \beta$

B. $\sin \alpha <\sin \beta$

C. $\tan \alpha +\tan \beta >0$

D. $\cot \alpha >\cot \beta$

Lời giải

Chọn B

Biểu diễn lên đường tròn.

Câu 20: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, góc $B$ bằng ${30}^{°}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos B=\frac{1}{\sqrt{3}}$

B. $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\cos C=\frac{1}{2}$

D. $\sin B=\frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn A

$\cos B=\cos {30}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\cos {75}^{°}>\cos {50}^{°}$.

B. $\sin {80}^{°}>\sin {50}^{°}$

C. $\tan {45}^{°}<\tan {60}^{°}$

D. $\cos {30}^{°}=\sin {60}^{°}$

Lời giải

Chọn A

Lý thuyết.

DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI

Câu 22: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, với $90°<\alpha <180°$. Tính $\cos \alpha$

A. $\cos \alpha =\frac{2}{3}$

B. $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$

C. $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

D. $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Lời giải

Chọn D

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}$

Mặt khác $90°<\alpha <180°$ nên $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Câu 23: Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Tính $\tan \alpha$?

A. $\frac{5}{4}$

B. $-\frac{5}{2}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Lời giải

Chọn D

Do $\cos \alpha <0\Rightarrow \tan \alpha <0$

Ta có:

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff {\tan }^2\alpha =\frac{5}{4}$

$\Rightarrow \tan \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Câu 24: Cho biết $\tan \alpha =\frac{1}{2}$. Tính $\cot \alpha$

A. $\cot \alpha =2$

B. $\cot \alpha =\sqrt{2}$

C. $\cot \alpha =\frac{1}{4}$

D. $\cot \alpha =\frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn A

$\tan \alpha .\cot \alpha =1\Rightarrow \cot x=\frac{1}{\tan x}=2$

Câu 25: $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu nếu $\cot \alpha =-\frac{1}{2}$?

A. $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

C. $-\frac{\sqrt{5}}{5}$

D. $-\frac{1}{3}$

Lời giải

Chọn A

Ta có $\cot \alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow \tan \alpha =-2$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

$\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+{\left(-2\right)}^2}=\frac{1}{5}$

Suy ra $\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 26: Nếu $\tan \alpha =3$ thì $\cos \alpha$ >bằng bao nhiêu?

A. $-\frac{\sqrt{10}}{10}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

D. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Lời giải

Chọn C

Ta có

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

$\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+3^2}=\frac{1}{10}$

Suy ra $\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Câu 27: Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin \alpha =\frac{5}{13}$. Giá trị của biểu thức $3\sin \alpha +2\cos \alpha$ là

A. $\frac{9}{13}$

B. $3$

C. $-\frac{9}{13}$

D. $-3$

Lời giải

Chọn C

Ta có:

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{144}{169}\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{12}{13}$

Do $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha <0$, từ đó $\cos \alpha =-\frac{12}{13}$

Như vậy:

$3\sin \alpha +2\cos \alpha =3\cdot \frac{5}{13}+2\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{9}{13}$

Câu 28: Biết $\cot \alpha =-a,a>0$. Tính $\cos \alpha$

A. $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$

B. $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

C. $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

D. $\cos \alpha =-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$

Lời giải

Chọn D

Do $\cot \alpha =-a,a>0$ nên ${90}^0<\alpha <{180}^0$

suy ra $\cos \alpha <0$

Mặt khác, $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }\iff \tan \alpha =\frac{-1}{a}$

Mà ta lại có:

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

$\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }\iff {\cos }^2\alpha =\frac{a^2}{1+a^2}$

Khi đó $\cos \alpha =-\frac{\left(a\right)}{\sqrt{1+a^2}}$

và do $a>0$ nên $\cos \alpha =-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$

Câu 29: Cho $\cos x=\frac{1}{2}$. Tính biểu thức $P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x$

A. $\frac{13}{4}$

B. $\frac{7}{4}$

C. $\frac{11}{4}$

D. $\frac{15}{4}$

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x$

$=3\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)+{\cos }^{2}x$

$=3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{13}{4}$

Câu 30: Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin \alpha =\frac{4}{5}$. Giá trị của biểu thức $A=2\sin \alpha -\cos \alpha$ bằng

A. $\frac{-7}{5}$

B. $\frac{7}{5}$

C. 1.

D. $\frac{11}{5}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{4}{5}\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Do $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha <0$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-3}{5}$

$A=2\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{2.4}{5}-\frac{-3}{5}=\frac{11}{5}$

Câu 31: Cho $\sin \alpha =\frac{4}{5},$ với $90°\le \alpha \le 180°$. Tính giá trị của $M=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }$

A. $M=\frac{25}{27}$

B. $M=\frac{175}{27}$

C. $M=\frac{35}{27}$

D. $M=-\frac{25}{27}$

Chọn D

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Mà $90°\le \alpha \le 180°\Rightarrow \cos \alpha \le 0$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-3}{5}$

Từ đó $M=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }=\frac{-25}{27}$

Câu 32: Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $E=\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }$?

A. $-\frac{19}{13}$.

B. $\frac{19}{13}$.

C. $\frac{25}{13}$.

D. $-\frac{25}{13}$

Lời giải

Chọn B

$E=\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }=\frac{1+3{\tan }^2\alpha }{2+{\tan }^2\alpha }$

$=\frac{3\left({\tan }^2\alpha +1\right)-2}{1+\left(1+{\tan }^2\alpha \right)}=\frac{\frac{3}{{\cos }^2\alpha }-2}{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1}=\frac{3-2{\cos }^2\alpha }{1+{\cos }^2\alpha }=\frac{19}{13}$

Câu 33: Cho biết $\cot \alpha =5$. Tính giá trị của $E=2{\cos }^2\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1$?

A. $\frac{10}{26}$.

B. $\frac{100}{26}$.

C. $\frac{50}{26}$.

D. $\frac{101}{26}$

Lời giải

Chọn D

$E={\sin }^2\alpha \left(2{\cot }^2\alpha +5\cot \alpha +\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\right)$

$=\frac{1}{1+{\cot }^2\alpha }\left(3{\cot }^2\alpha +5\cot \alpha +1\right)=\frac{101}{26}$

Câu 34: Cho $cot\alpha =\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $A=\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ là:

A. $-\frac{15}{13}$.

B. $-13$.

C. $\frac{15}{13}$

D. 13

Lời giải

Chọn D

$A=\frac{3\sin \alpha +4\sin \alpha .\cot \alpha }{2\sin \alpha -5\sin \alpha .\cot \alpha }=\frac{3+4\cot \alpha }{2-5\cot \alpha }=13$

Câu 35: Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $E=\frac{\cot \alpha -3\tan \alpha }{2\cot \alpha -\tan \alpha }$ bằng bao nhiêu?

A. $-\frac{25}{3}$.

B. $-\frac{11}{13}$

C. $-\frac{11}{3}$

D. $-\frac{25}{13}$

Lời giải

Chọn C

$E=\frac{\cot \alpha -3\tan \alpha }{2\cot \alpha -\tan \alpha }=\frac{1-3{\tan }^2\alpha }{2-{\tan }^2\alpha }$

$=\frac{4-3\left({\tan }^2\alpha +1\right)}{3-\left(1+{\tan }^2\alpha \right)}=\frac{4-\frac{3}{{\cos }^2\alpha }}{3-\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$

$=\frac{4{\cos }^2\alpha -3}{3{\cos }^2\alpha -1}=-\frac{11}{3}$

Câu 36: Biết $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Giá trị đúng của biểu thức $P={\sin }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha$ là:

A. $\frac{11}{9}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{10}{9}$

Lời giải

Chọn A

$\text{cos}\alpha =\frac{1}{3}$

$\Rightarrow P={\sin }^2\alpha +3c{\text{os}}^2\alpha$

$=\left({\sin }^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha \right)+2{\text{cos}}^2\alpha$

$=1+2{\text{cos}}^2\alpha =\frac{11}{9}$

DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 37:Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. ${\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos x-\sin x\right)}^2=2,\forall x$.

B. ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x,\forall x\ne {90}^{°}$

C. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x,\forall x$

D. ${\sin }^{6}x-{\cos }^{6}x=1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x,\forall x$

Lời giải

Chọn D

${\sin }^{6}x-{\cos }^{6}x=\left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)\left(1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)$

Câu 38:Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. $\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\left(x\ne 0^{°},x\ne {180}^{°}\right)$.

B. $\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\left(x\ne 0^{°},{90}^{°},{180}^{°}\right)$

C. ${\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}-2\left(x\ne 0^{°},{90}^{°},{180}^{°}\right)$

D. ${\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x=2$.

Lời giải

Chọn D

${\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x=1$.

Câu 39:Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. ${\sin }^2\alpha +\cos {\alpha }^2=1$.

B. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$.

C. $\sin {\alpha }^2+\cos {\alpha }^2=1$.

D. ${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =1$.

Lời giải

Chọn D

Công thức lượng giác cơ bản.

Câu 40:Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. ${\sin }^2\alpha +\cos {\alpha }^2=1$.

B. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$.

C. $\sin {\alpha }^2+\cos {\alpha }^2=1$.

D. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Lời giải

Chọn D

Công thức lượng giác cơ bản.

Câu 41:Rút gọn biểu thức sau $A=\frac{{\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\cot }^{2}x}+\frac{\sin x.\cos x}{\cot x}$

A. A = 4.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C

$A=\frac{{\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\cot }^{2}x}+\frac{\sin x.\cos x}{\cot x}=\frac{\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-{\cos }^{2}x}{\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}+\frac{\sin x.\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}}$

$=\frac{{\cos }^{2}x\left(1-{\sin }^{2}x\right)}{{\cos }^{2}x}+{\sin }^{2}x=1-{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$

Chuyên đề Vectơ

Chuyên đề Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Chuyên đề Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chuyên đề Đại số tổ hợp