Chứng minh rằng: a) sin^4 alpha + cos^4 alpha = 1 - 2sin^ 2alpha . cos^2 alpha

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α;

b) sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α;

c*) $\sqrt{{\sin }^4\alpha +6{\cos }^2\alpha +3}+$$\sqrt{{\cos }^4\alpha +4{\sin }^2\alpha }=4$.

Lời giải:

a) Ta có (sin²α + cos²α)² = sin⁴α + 2sin²α . cos²α + cos⁴α

$\Rightarrow$ 1² = sin⁴α + cos⁴α + 2sin²α . cos²α

$\Rightarrow$ sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α

Vậy sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α.

b) Ta có (sin²α + cos²α)³ = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α . cos²α(sin²α + cos²α)

$\Rightarrow$ 1³ = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α . cos²α . 1

$\Rightarrow$ sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α

Vậy sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α.

c) Xét sin⁴α + 6cos²α + 3

= sin⁴α + 6(1 - sin²α) + 3

= sin⁴α - 6sin²α + 9

= (sin²α - 3)²

$\Rightarrow$$\sqrt{{\sin }^4\alpha +6{\cos }^2\alpha +3}=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha -3\right)}^2}$

= |sin²α – 3| = 3 - sin²α

(do 0 ≤ sin²α < 1 nên sin²α – 3 < 0).

Xét cos⁴α + 4sin²α

= cos⁴α + 4(1 - cos²α)

= cos⁴α - 4 cos²α + 4

= (cos²α - 2)²

$\Rightarrow$$\sqrt{{\cos }^4\alpha +4{\sin }^2\alpha }=\sqrt{{\left({\cos }^2\alpha -2\right)}^2}$

= |cos²α – 2| = 2 - cos²α

(do 0 ≤ cos²α < 1 nên cos²α – 2 < 0).

$\Rightarrow$$\sqrt{{\sin }^4\alpha +6{\cos }^2\alpha +3}+$$\sqrt{{\cos }^4\alpha +4{\sin }^2\alpha }$

= 3 - sin² α + 2 - cos² α

= 5 - (sin² α + cos² α)

= 5 - 1

= 4.

Vậy $\sqrt{{\sin }^4\alpha +6{\cos }^2\alpha +3}+$$\sqrt{{\cos }^4\alpha +4{\sin }^2\alpha }=4$.