Cho góc α thỏa mãn 0 độ < alpha < 180 độ, tanalpha = 2. Tính giá trị của các biểu thức

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 3.3 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) G = 2sin α + cos α;

b) H = $\frac{2\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$.

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Mà tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$= 2 > 0 nên sin α và cos α cùng dấu, do đó cosα > 0.

Do tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$= 2 nên sinα = 2cosα

$\Rightarrow$ sin²α = 4cos²α

Ta có sin²α + cos²α = 1

$\Rightarrow$ 4cos α + cos²α = 1

$\Rightarrow$ 5cos²α = 1

$\Rightarrow$ cos²α =

Do cosα > 0 nên cosα = $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Do đó sinα = $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

a) G = 2sinα + cosα

= 2 . $\frac{2}{\sqrt{5}}$+ $\frac{1}{\sqrt{5}}$

= $\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$

= $\frac{5}{\sqrt{5}}$= $\sqrt{5}$

Vậy G = $\sqrt{5}$.

b) H = $\frac{2\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$

= $\frac{2.\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}}$= $\frac{\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

= $\frac{5}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$= 5

Vậy H = 5.