Cho góc α, 90 độ < alpha < 180 độ thỏa mãn sin alpha = 3/4. Tính giá trị của biểu thức

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 3.2 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn sin α = $\frac{3}{4}$. Tính giá trị của biểu thức:

$F=\frac{\tan \alpha +2\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }$.

Lời giải:

Do 90° < α < 180° nên sinα > 0, cosα < 0.

Ta có sin² α + cos² α = 1.

$\Rightarrow$ cos² α = 1 - sin² α

$\Rightarrow$ cos² α = 1 -${\left(\frac{3}{4}\right)}^2$= 1 -$\frac{9}{16}$= $\frac{7}{16}$.

Mà cos α < 0 nên cos α = $-\sqrt{\frac{7}{16}}$= $\frac{-\sqrt{7}}{4}$.

Khi đó:

• tan α = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}:\frac{-\sqrt{7}}{4}=\frac{3}{4}.\frac{4}{-\sqrt{7}}=\frac{-3}{\sqrt{7}}$.

• cot α = 1 : tan α = $\frac{-\sqrt{7}}{3}$.

Khi đó F = $\frac{\frac{-3}{\sqrt{7}}+2.\frac{-\sqrt{7}}{3}}{\frac{-3}{\sqrt{7}}+\frac{-\sqrt{7}}{3}}$

= $\frac{\frac{-3}{\sqrt{7}}-\frac{2\sqrt{7}}{3}}{\frac{-3}{\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{7}}{3}}=\frac{\frac{-9-14}{3\sqrt{7}}}{\frac{-9-7}{3\sqrt{7}}}$

= $\frac{-23}{3\sqrt{7}}:\frac{-16}{3\sqrt{7}}$= $\frac{23}{16}$

Vậy F = $\frac{23}{16}$.