Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Căn bậc ba

Bài 94 trang 20 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = $\frac{1}{2}$.(x + y + z)[(x - y)² 

+ (y - z)² + (z - x)²]

Từ đó chứng tỏ:

a) Với ba số x, y, z không âm thì $\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz$

b) Với ba số a, b, c không âm thì $\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$ (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.

Lời giải:

Ta có:

$VP=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left.{\left(x-y\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left.\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\left(x+y+z\right).2.\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=x^3+x{y}^2+x{z}^2-x{y}^2-xyz+x^{2}z+x^{2}y+y^3+y{z}^2-x{y}^2-y^{2}z-xyz+x^{2}z+y^{2}z+z^3-xyz-y{z}^2-x{z}^2=x^3+y^3+z^3-3xyz=VT$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

a)

Nếu x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 thì:

x + y + z ≥ 0

(x - y)² + (y - z)² + (z - x)² ≥ 0

Theo chứng minh trên:

x³ + y³ + z³ - 3xyz

= $\frac{1}{2}$.(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]

Do đó:  x³ + y³ + z³ - 3xyz ≥ 0

⇔ x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz

Hay: $\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz$

b) Nếu a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì:

$\sqrt[3]{a}\ge 0$; $\sqrt[3]{b}\ge 0$; $\sqrt[3]{c}\ge 0$.

Đặt x = $\sqrt[3]{a}$ ; y = $\sqrt[3]{b}$; z = $\sqrt[3]{c}$ thì x, y, z cũng không âm.

Từ chứng minh câu a ta có bất đẳng thức cho ba số x, y, z không âm như sau: $\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz$

Thay x = $\sqrt[3]{a}$ ; y = $\sqrt[3]{b}$; z = $\sqrt[3]{c}$ ta có:

$\frac{{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{b}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{c}\right)}^3}{3}\ge 3.\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}\iff \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.