Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB},$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB},$$2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}.$

Lời giải:

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

$\Rightarrow$ OC = AB

Mà AB² = OA² + OB² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow OC=AB=a\sqrt{2}$

+) Có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$(quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left.\overrightarrow{OC}\right|=OC=a\sqrt{2}$

+) Có:

$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left.\overrightarrow{OC}\right|=OC=a\sqrt{2}$

+) Lấy điểm D sao cho $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$nên hai vectơ $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OB}$cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=\left.\overrightarrow{OE}\right|=OE$

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ OE² = (2OB)² + OA²

$\Rightarrow$ OE² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow OE=a\sqrt{5}$

Do đó $\left.\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{5}$

+) Lấy điểm G sao cho $\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OB}$

Khi đó: hai vectơ $\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{OA}$cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\overrightarrow{OH}$, $\overrightarrow{OB}$cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}$

$=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{HO}$$=\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OG}$

$=\overrightarrow{HG}$

$\Rightarrow \left.2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}\right|=\left.\overrightarrow{HG}\right|=HG$

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ HG² = (2OA)² + (3OB)²

$\Rightarrow$ HG² = (2a)² + (3a)²

$\Rightarrow$ HG² = 13a²

$\Rightarrow HG=a\sqrt{13}$

Do đó $\left.2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{13}.$

Vậy $\left.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{2};$ $\left.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{2};$ $\left.\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{5}$và  $\left.2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{13}.$