Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}.$

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.$

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°$

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

$\Rightarrow$ BH /// CD và CH // BD

$\Rightarrow$ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

$\Rightarrow$ M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

$\Rightarrow$ OM // AH và $AH=2.OM$(tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AH}$và $\overrightarrow{OM}$có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: $\left.\overrightarrow{AH}\right|=2\left.\overrightarrow{OM}\right|$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}.$

Vậy $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}.$

b) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$

Mà $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$(câu a)

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.$

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Mà $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$(câu b)

Suy ra $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$

Khi đó $\overrightarrow{OH}$và $\overrightarrow{OG}$cùng phương, cùng hướng

$\Rightarrow$ O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.