Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Lời giải:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$

Mà PQ // AB nên $\widehat{MQK}=\widehat{ABC}=60°,$

HK // AC nên $\widehat{MKQ}=\widehat{ACB}=60°$

Tam giác MQK có: $\widehat{MQK}=\widehat{MKQ}=60°$nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{MD}$(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{MF}$(2)

+) $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{ME}$(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{ME}$

$\Rightarrow 2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}\right)=\left(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MI}\right)$$+\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}\right)+\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}\right)$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC};\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}$

Khi đó

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}.3\overrightarrow{MO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$