Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và CB

Giải Toán 9 Luyện tập trang 69, 70

Video Giải Bài 9 trang 70 Toán lớp 9 Tập 1

Bài 9 trang 70 Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân.

b) Tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải:

a)

Xét tam giác LDK có: $\mathrm{LDI}={90}^{\mathrm{o}}$ (do $\mathrm{DL}\perp \mathrm{DI}$)

$\Rightarrow \widehat{CDI}+\widehat{CDL}={90}^o$(1)

Xét hình vuông ABCD có:

 $\widehat{\mathrm{CDA}}={90}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ADI}}+\widehat{\mathrm{CDI}}={90}^{\mathrm{o}}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{\mathrm{CDL}}=\widehat{\mathrm{ADI}}$ (cùng phụ $\widehat{\mathrm{CDI}}$)

Xét tam giác vuông ADI và tam giác vuông CDL

AD = CD (hai cạnh của hình vuông ABCD)

$\widehat{\mathrm{ADI}}=\widehat{\mathrm{CDL}}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\mathrm{\Delta ADI}=\mathrm{\Delta CDL}$ (cạnh góc vuông và góc nhọn)

DI = DL

Tam giác DIL cân tại D (đcpcm)

b)

Xét tam giác DKL vuông tại D có đường cao DC

Áp dụng định lí (4) có:

$\frac{1}{{\mathrm{DC}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{DL}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{DK}}^2}$

$\frac{1}{{\mathrm{DC}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{DI}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{DK}}^2}$  (do DI = DL)

Có DC luôn không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

$\frac{1}{{\mathrm{DC}}^2}$ luôn không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

Tổng $\left(\frac{1}{{\mathrm{DI}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{DK}}^2}\right)$ luôn không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB (đcpcm)