Cho hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2. a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 2 trang 36 Toán 12 Tập 1:Cho hàm số y = x³– 3x²+ 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = x³ – 3x² + 2. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có y' = 3x² – 6x; y" = 6x – 6;

y" = 0 ⇔ x = 1.

Với x = 1, ta có y(1) = 0.

Vậy I(1; 0).

b) Ta có y' = 0 ⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y_CĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y_CT = – 2.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 2) và (2; – 2).

Ta thấy $\begin{array}{l}\frac{0+2}{2}=1\\ \frac{2+\left(-2\right)}{2}=0\end{array}$. Vậy điểm I(1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.