Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài

Giải Toán 9 Ôn tập chương 2

Video Giải Bài 42 trang 128 Toán lớp 9 tập 1

Bài 42 trang 128 Toán lớp 9 tập 1:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Lời giải:

a)

Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = MB = MC

 $\Rightarrow MA=\frac{1}{2}BC$

Xét tam giác ABC

Có MA là trung tuyến và $MA=\frac{1}{2}BC$

Do đó, tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

Xét tam giác MBA cân tại M  (do MA = MB )

Có EM là phân giác nên ME cũng là đường cao

$\Rightarrow ME\perp AB\Rightarrow \widehat{AEM}={90}^o$

Xét tam giác MCA cân tại M (do MA = MC)

Có FM là phân giác nên MF cũng là đường cao

$\Rightarrow MF\perp AC\Rightarrow \widehat{AFM}={90}^o$

Xét tứ giác AEMF có

$\widehat{BAC}={90}^o\widehat{AFM}={90}^o\widehat{AEM}={90}^o$

Do đó, AEMF là hình chữ nhật

b)

Xét tam giác AOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có:

$AE\perp MO$ nên AE là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$M{A}^2=ME.MO\left(3\right)$

Xét tam giác AO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có $AF\perp MO\text{'}$ nên AF là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$M{A}^2=MF.MO\text{'}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ ME. MO = MF. MO’

c)

Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)

Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA

Mặt khác $OO\text{'}\perp MA$ tại A

Do đó, OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

d)

Ta có: $\begin{array}{l}OB\perp BC\\ O\text{'}C\perp BC\end{array}\Rightarrow OB//O\text{'}C$

Do đó, tứ giác OBCO’ là hình thang

Gọi I là trung điểm của OO’.

Ta có M là trung điểm của BC.

Do đó, MI  là đường trung bình của hình thang OBCO’

$\Rightarrow MI//OB//O\text{'}C$

Mà $\begin{array}{l}OB\perp BC\\ O\text{'}C\perp BC\end{array}\Rightarrow MI\perp BC$ (5)

Ta có AEMF là hình chữ nhật nên $\widehat{OMO\text{'}}=\widehat{EMF}={90}^o$

Do đó, tam giác OMO’ vuông tại M

Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.