Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H

Giải Toán 9 Ôn tập chương 2

Video Giải Bài 41 trang 128 Toán lớp 9 tập 1

Bài 41 trang 128 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh đẳng thức AE. AB = AF. AC

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

a)

Có :

OI = OB – IB nên (I) tiếp xúc trong với (O)

OK = OC – KC nên (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b)

Theo đề bài, ta có:

$HE\perp AB$ tại E

$\Rightarrow \widehat{AEH}={90}^o$

$HF\perp AC$ tại F

$\Rightarrow \widehat{AFH}={90}^o$

Và $\widehat{BAC}={90}^o$ (do A thuộc đường tròn đường kính BC)

Xét tứ giác AEHF có:

$\widehat{EAF}=\widehat{AEH}=\widehat{AFH}={90}^o$

Do đó, tứ giác AEHF là hình chữ nhật

c)

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=AE.AB$

Xét tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=AF.AC$

Do đó, AE. AB = AF. AC (vì cùng bằng $A{H}^2$)

d)

Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: ME = MF = MH = MA (do AEHF là hình chữ nhật)

Xét tam giác MEI và tam giác MHI có:

ME = MH

IE = IH (cùng bằng bán kính đường tròn (I))

MI chung

Do đó, tam giác MEI và tam giác MHI bằng nhau (theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh)

$\Rightarrow \widehat{MEI}=\widehat{MHI}$

Mà AD vuông góc với BC tại H nên $\widehat{MHI}={90}^o\Rightarrow \widehat{MEI}={90}^o$

$\Rightarrow ME\perp EI$ tại E

Mà IE là bán kính đường tròn (I)

Do đó, ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Mặt khác ta lại có:

Xét tam giác MFH có:

MF = MH (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MFH cân tại M

$\Rightarrow \widehat{MHF}=\widehat{MFH}$ (hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác KFH có:

KF = KH (cùng bằng bán kính đường tròn (K))

Do đó, tam giác KFH cân tại K

$\Rightarrow \widehat{KHF}=\widehat{KFH}$ (hai góc ở đáy) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\widehat{MHF}+\widehat{KHF}=\widehat{MFH}+\widehat{HFK}$$\Rightarrow \widehat{KFM}=\widehat{MHK}={90}^o$ (do $AH\perp BC$ tại H)

$\Rightarrow MF\perp FK$ tại F

Mà KF là bán kính đường tròn (K) nên MF hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e)

Do AEHF là hình chữ nhật nên ta có: EF = AH

Mà dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính nên nửa dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính nên ta có: $AH\le AO$

Do đó, $EF\le AO=R$ (với  R là bán kính của đường tròn (O) luôn không đổi)

Dấu bằng xảy ra khi H trùng với O

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.