Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Phép vị tự luôn có điểm bất động

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 6: Phép vị tự

Bài 2 trang 35 Chuyên đề Toán 11: Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Phép vị tự luôn có điểm bất động.

b) Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động.

c) Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động.

Lời giải:

a) Đúng, vì tâm vị tự là điểm bất động.

b) Sai, vì phép vị tự tỉ số k = 1 có mọi điểm đều bất động.

c) Đúng.

Ta có phép vị tự tâm O luôn có O là điểm bất động.

Giả sử phép vị tự đó còn một điểm bất động khác là M.

Tức là, ảnh M’ của M qua phép vị tự tâm O trùng với M.

Do M’ là ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số k nên $\overrightarrow{{\mathrm{OM}}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ (1)

Do M’ trùng với M nên $\overrightarrow{{\mathrm{OM}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra k = 1.

Vì vậy phép vị tự đó là phép đồng nhất.

Vậy phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động.