Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ

Giải Toán 9 Luyện tập trang 19, 20

Video Giải Bài 27 trang 20 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 27 trang 20 SGK Toán 9 Tập 2:

a) $\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5\end{array}$

Hướng dẫn: Đặt u = $\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}$

b)  $\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{array}$

Hứng dẫn: Đặt $u=\frac{1}{x-2};v=\frac{1}{y-1}$

Lời giải:

a) $\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5\end{array}$ (I)

Đặt $\begin{array}{l}\frac{1}{x}=u\\ \frac{1}{y}=v\end{array}$. Hệ phương trình (I) trở thành $\begin{array}{l}u-v=1\\ 3u+4v=5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3u-3v=3\\ 3u+4v=5\end{array}\iff \begin{array}{l}u-v=1\\ \left(3u-3v\right)-\left(3u+4v\right)=3-5\end{array}\iff \begin{array}{l}u-v=1\\ 3u-3v-3u-4v=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}u-v=1\\ -7v=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}u=1+v\\ v=\frac{2}{7}\end{array}\iff \begin{array}{l}u=1+\frac{2}{7}\\ v=\frac{2}{7}\end{array}\iff \begin{array}{l}u=\frac{9}{7}\\ v=\frac{2}{7}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{9}{7}\\ \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{7}{9}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =$\left(\frac{7}{9};\frac{7}{2}\right)$

b) $\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{array}$(II)

Đặt $\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}=u\\ \frac{1}{y-1}=v\end{array}$. Khi đó hệ (II) trở thành $\begin{array}{l}u+v=2\\ 2u-3v=1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2u+2v=4\\ 2u-3v=1\end{array}\iff \begin{array}{l}u+v=2\\ \left(2u+2v\right)-\left(2u-3v\right)=4-1\end{array}\iff \begin{array}{l}u+v=2\\ 2u+2v-2u+3v=3\end{array}\iff \begin{array}{l}u+v=2\\ 5v=3\end{array}\iff \begin{array}{l}u+v=2\\ v=\frac{3}{5}\end{array}\iff \begin{array}{l}u+\frac{3}{5}=2\\ v=\frac{3}{5}\end{array}\iff \begin{array}{l}u=2-\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}\\ v=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}\end{array}\iff \begin{array}{l}u=\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 5}}\\ v=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}\end{array}\iff \begin{array}{l}\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x-2}}=\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 5}}\\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle y-1}}=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}\end{array}\iff \begin{array}{l}7\left(x-2\right)=5\\ 3\left(y-1\right)=5\end{array}\iff \begin{array}{l}7x-14=5\\ 3y-3=5\end{array}\iff \begin{array}{l}7x=14+5\\ 3y=5+3\end{array}\iff \begin{array}{l}7x=19\\ 3y=8\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 19}}{{\displaystyle 7}}\\ y=\frac{{\displaystyle 8}}{{\displaystyle 3}}\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = $\left(\frac{19}{7};\frac{8}{3}\right)$.