Xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo của các mệnh đề sau

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

Bài 1.5 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1:

a) Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3.

b) Nếu x > y thì x³ > y³.

Lời giải:

a) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3” là mệnh đề “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6”.

Mệnh đề “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6” là mệnh đề sai do số tự nhiên n chia hết cho 3 thì ta chỉ khẳng định được n có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có rất nhiều số chia hết cho 3 ngoài 6.

Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3” là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu x > y thì x³ > y³” là mệnh đề “Nếu x³ > y³ thì x > y”.

Ta có x³ > y³ $\iff$ x³ - y³ > 0 $\iff$ (x - y)(x² + xy + y²) > 0.

x² + xy + y² = x² + 2.x. $\frac{y}{2}$+$\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}$ = ${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}$> 0 ∀ x, y $\in$ ℝ.

Do đó x - y > 0 $\iff$ x > y.

Vậy mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu x > y thì x³ > y³” là mệnh đề đúng.