Phát biểu mệnh đề P tương đương Q và xét tính đúng sai của chúng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

Bài 1.6 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1:

a) P: “x² + y² = 0”; Q: “x = 0 và y = 0”.

b) P: “x² > 0”; Q: “x > 0”.

Lời giải:

a) Mệnh đề P $\iff$ Q là “x² + y² = 0 khi và chỉ khi x = 0 và y = 0”.

Xét mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề “Nếu x² + y² = 0 thì x = 0 và y = 0”.

Ta có x² ≥ 0; y² ≥ 0 ∀x, y $\in$ ℝ.

Suy ra x² + y² ≥ 0 ∀x, y $\in$ ℝ.

Suy ra x² + y² = 0 khi x² = 0 và y² = 0.

Suy ra x = 0 và y = 0.

Do đó mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề Q $\Rightarrow$ P là mệnh đề “Nếu x = 0 và y = 0 thì x² + y² = 0”.

Mệnh đề này là mệnh đề đúng vì khi x = 0 và y = 0 thì x² = 0 và y² = 0.

Khi đó x² + y² = 0.

Vậy mệnh đề P $\iff$ Q là mệnh đề đúng do cả hai mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và Q $\Rightarrow$ P là hai mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề P $\iff$ Q là “x² > 0 khi và chỉ khi x > 0”.

Xét mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề “Nếu x² > 0 thì x > 0”.

Ta có x² ≥ 0 ∀x $\in$ ℝ.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 nên x² > 0 khi x ≠ 0.

Suy ra mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề sai.

Vậy mệnh đề P $\iff$ Q là mệnh đề sai do mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề sai.