Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5)

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.36 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB

$\Rightarrow$ AC² = BC²

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:

• $\overrightarrow{AC}=\left(x-1;-1\right)$$\Rightarrow$ AC² = (x – 1)² + (–1)²

$\Rightarrow$ AC² = x² – 2x + 2

• $\overrightarrow{BC}=\left(x-7;-5\right)$$\Rightarrow$ BC² = (x – 7)² + (–5)²

$\Rightarrow$ BC² = x² – 14x + 74

Do đó AC² = BC²

$\Rightarrow$ x² – 2x + 2 = x² – 14x + 74

$\Rightarrow$ 12x = 72

$\Rightarrow$ x = 6

Vậy C(6; 0).

b) Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DM}$

Do đó để vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$có độ dài ngắn nhất thì vectơ $2\overrightarrow{DM}$có độ dài ngắn nhất

$\Rightarrow$ DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM² nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

• M là trung điểm của AB nên $\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+7}{2}=4\\ y_M=\frac{1+5}{2}=3\end{array}$

$\Rightarrow$ M(4; 3)

$\Rightarrow \overrightarrow{DM}=\left(4;3-y\right)$

$\Rightarrow$ DM² = 4² + (3 – y)²

Hay DM² = (y – 3)² + 16

Vì (y – 3)² ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)² + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM² ≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 $\Rightarrow$ y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$có độ dài ngắn nhất.