Cho hai vectơ a và b thỏa mãn độ dài vecto a=6, độ dài vecto b=8

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.32 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$thoả mãn $\left.\overrightarrow{a}\right|=6,\left.\overrightarrow{b}\right|=8$và $\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=10.$

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).$

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.$

Lời giải:

Gọi ba điểm A, B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

Khi đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Và AB = 6, BC = 8 và AC = 10.

Xét tam giác ABC có:

• AB² + BC² = 6² + 8² =100

AC² = 10² = 100

$\Rightarrow$ AB² + BC² = AC²

Do đó tam giác ABC vuông tại B (định lí Pythagore đảo)

• $cos\widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ 

a) Ta có $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=AB.ACcos\widehat{BAC}$

$=\mathrm{6.10.}\frac{3}{5}=36$

Vậy $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=36.$

b) $cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=cos\widehat{BAC}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 53°7^{\text{'}}4{8^{\text{'}}}^{\text{'}}$

Vậy $\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\approx 53°7^{\text{'}}4{8^{\text{'}}}^{\text{'}}.$