Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.29 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\overrightarrow{MA}$và $\overrightarrow{BA}$ ,$\overrightarrow{MA}$và $\overrightarrow{AC}$

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}.$

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{MP}$theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}.$Tính độ dài đoạn MP.

Lời giải:

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{MAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{BA}\right)=\widehat{xAy}=\widehat{BAM}=30°$

$\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{xAC}=180°-\widehat{MAC}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{AC}\right)=180°-30°=150°$

Khi đó ta có:

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BA}=\frac{3}{4}$và $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AC}=\frac{-3}{4}.$

b) • Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AC}\right)$

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

$\Rightarrow \overrightarrow{AB\text{}}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$$\Rightarrow \overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB\text{}}$

Khi đó 

Mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{AC}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.cos\widehat{BAC}=\mathrm{1.1.}\cos 60°=\frac{1}{2}.$

Do đó 

Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}$

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN

• Ta có: 

Vậy $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB\text{}};$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AC}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB\text{}}$và $MP=\frac{\sqrt{21}}{4}.$