Toán 8 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Hai tam giác đồng dạng

Giải Toán 8 Bài 1: Hai tam giác đồng dạng

Giải Toán 8 trang 62 Tập 2

Khởi động trang 62 Toán 8 Tập 2:Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Còn hai tam giác có ba góc bằng nhau thì có bằng nhau không?

Lời giải:

Hai tam giác bằng nhau thì có ba cặp góc bằng nhau, còn hai tam giác có ba góc bằng nhau thì chưa chắc bằng nhau.

Chẳng hạn: Tam giác ABC và tam giác DEF có các góc bằng nhau nhưng không bằng nhau.

1. Tam giác đồng dạng

Khám phá 1 trang 62 Toán 8 Tập 2:Nêu nhận xét về hình dạng và kích thước của từng cặp hình: Hình 1a và Hình 1b, Hình 1c và Hình 1d, Hình 1e và Hình 1g.

Lời giải:

• Xét Hình 1a và Hình 1b, ta thấy:

- Hai hình này có cùng hình dạng;

- Hình 1a có kích thước nhỏ hơn Hình 1b (phóng to Hình a ta thu được Hình b và ngược lại thu nhỏ Hình b ta thu được Hình a).

• Xét Hình 1c và Hình 1d, ta thấy:

- Hai hình này có cùng hình dạng;

- Hình 1c có kích thước lớn hơn Hình 1d (thu nhỏ Hình c ta thu được Hình d và ngược lại phóng to Hình d ta thu được Hình c).

• Xét Hình 1e và Hình 1g, ta thấy:

- Hai hình này có cùng hình dạng;

- Hình 1e có kích thước nhỏ hơn Hình 1g (phóng to Hình e ta thu được Hình g và ngược lại thu nhỏ Hình g ta thu được Hình e).

Vậy các cặp hình có hình dạng giống nhau nhưng khác về kích thước.

Khám phá 2 trang 62 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' như Hình 2.

a) Hãy viết các cặp góc bằng nhau.

b) Tính và so sánh các tỉ số $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB};\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC};\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$ .

Lời giải:

a) Từ các kí hiệu trên hình vẽ, ta thấy các cặp góc bằng nhau: $\hat{A}=\widehat{A\text{'}};\hat{B}=\widehat{B\text{'}};\hat{C}=\widehat{C\text{'}}$ .

b) • $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ ;

• $\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{7,5}{5}=\frac{3}{2}$ ;

• $\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ .

Vậy $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$.

Giải Toán 8 trang 63 Tập 2

Thực hành 1 trang 63 Toán 8 Tập 2:Quan sát Hình 3, cho biết ΔAMN ᔕ ΔABC.

a) Hãy viết tỉ số của các cạnh tương ứng và tính tỉ số đồng dạng.

b) Tính $\widehat{AMN}$.

Lời giải:

a) Do ΔAMN ᔕ ΔABC ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ (các cạnh tương ứng).

Do đó tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{3}$ .

b) Do ΔAMN ᔕ ΔABC suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}=65°$.

Vậy $\widehat{AMN}=65°$ .

2. Tính chất

Khám phá 3 trang 63 Toán 8 Tập 2:a) Nếu ΔA′B′C′ = ΔABC thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

b) Cho ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số k thì ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ theo tỉ số nào?

Lời giải:

a) Do ΔA′B′C′ = ΔABC nên $\hat{A}=\widehat{A\text{'}};\hat{B}=\widehat{B\text{'}};\hat{C}=\widehat{C\text{'}}$ ; $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=1$ .

Do đó ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k = 1.

b) Do ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số k nên $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=k$ hay $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{k}$.

Vậy ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ theo tỉ số $\frac{1}{k}$.

Giải Toán 8 trang 64 Tập 2

Thực hành 2 trang 64 Toán 8 Tập 2:Quan sát Hình 4, cho biết ΔADE ᔕ ΔAMN, ΔAMN ᔕ ΔABC, DE là đường trung bình của tam giác AMN, MN là đường trung bình của tam giác ABC. Tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: ΔADE ᔕ ΔAMN, ΔAMN ᔕ ΔABC suy ra ΔADE ᔕ ΔABC.

• Vì ΔADE ᔕ ΔAMN theo tỉ số $\frac{AD}{AM}=\frac{1}{2}$ (vì DE là đường trung bình tam giác AMN).

• Vì ΔAMN ᔕ ΔABC theo tỉ số $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$ (vì MN là đường trung bình tam giác ABC).

• Vì ΔADE ᔕ ΔABC theo tỉ số $\frac{AD}{AB}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}AM}{2AM}=\frac{1}{4}$ (vì MN là đường trung bình tam giác ABC).

Vậy tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{4}$.

3. Định lí

Khám phá 4 trang 64 Toán 8 Tập 2:Quan sát Hình 5, biết MN // BC. Hãy điền vào$\boxed{?}$cho thích hợp.

ΔAMN và ΔABC có:

$\hat{A}$ chung;

$\hat{M}$ = $\boxed{?}$;

$\hat{N}$ = $\boxed{?}$;

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{\boxed{?}}{\boxed{?}}$.

Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác AMN và tam giác ABC.

Lời giải:

ΔAMN và ΔABC có:

$\hat{A}$ chung;

$\hat{M}$ = $\boxed{\hat{B}}$;

$\hat{N}$ = $\boxed{\hat{C}}$;

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{\boxed{MN}}{\boxed{BC}}$.

Nhận xét: ΔAMN ᔕ ΔABC.

Giải Toán 8 trang 65 Tập 2

Thực hành 3 trang 65 Toán 8 Tập 2:Quan sát Hình 8, cho biết DC // MP, EF // MQ.

a) Chứng minh rằng ΔEPF ᔕ ΔDCQ.

b) ΔICF có đồng dạng ΔMPQ không? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có DC // MP nên ΔDCQ ᔕ ΔMPQ.

Ta có EF // MQ nên ΔEPF ᔕ ΔMPQ.

Do đó ΔEPF ᔕ ΔDCQ.

b) Ta có IF // DQ nên ΔICF ᔕ ΔDCQ.

Do đó ΔICF ᔕ ΔMPQ.

Vận dụng trang 65 Toán 8 Tập 2:Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh rằng ΔIEB ᔕ ΔIDA.

b) Cho biết CB = 3BE và AI = 9 cm. Tính độ dài DC.

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành suy ra BE // AD.

Do đó ΔIEB ᔕ ΔIDA.

b) ΔIEB ᔕ ΔIDA suy ra $\frac{IB}{IA}=\frac{IE}{ID}$

Ta có IB // CD nên ΔIEB ᔕ ΔDEC

Do đó $\frac{IB}{DC}=\frac{IE}{DE}=\frac{EB}{EC}=\frac{1}{4}$ nên $\frac{\mathrm{IE}}{\mathrm{ID}}=\frac{1}{3}$

Suy ra $\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IA}}=\frac{1}{3}$ ⇒ IB = 3 ⇒ AB = IA + IB = 12

Ta có DC = AB = 12 cm.

Vậy DC = 12 cm.

Bài tập

Bài 1 trang 65 Toán 8 Tập 2:Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.

Lời giải:

a) Xét khẳng định a: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1.

Vậy khẳng định a đúng.

b) Xét khẳng định b: Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.

Hai tam giác đồng dạng có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau theo tỉ số k.

• Với k = 1 thì các cạnh tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau nên hai tam giác đó bằng nhau.

• Với k ≠ 1 thì các cạnh tương ứng của hai tam giác đó không bằng nhau nên hai tam giác đó không bằng nhau.

Vậy khẳng định b sai.

Bài 2 trang 65 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC, hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng$\mathrm{k}=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Trên cạnh AB lấy B' là trung điểm của AB

Qua B' kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại C'

Ta có: B'C' // BC nên ΔAB′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng $\mathrm{k}=\frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{A}}=\frac{1}{2}$ .

Bài 3 trang 65 Toán 8 Tập 2:a) Trong Hình 11, cho biết ΔABC ᔕ ΔA′B′C′. Viết tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng và chỉ ra các cặp góc tương ứng.

b) Trong Hình 12, cho biết ΔDEF ᔕ ΔD′E′F′. Tính số đo $\widehat{\mathrm{D}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{F}\text{'}}$

c) Trong Hình 13, cho biết ΔMNP ᔕ ΔM′N′P′. Tính độ dài các đoạn thẳng MN và M'P'.

Lời giải:

a) ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên ta có:

• $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$

• $\hat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}$ ; $\hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$; $\hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{C}\text{'}}$ .

b) ΔDEF ᔕ ΔD′E′F′ nên ta có:

• $\hat{\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{D}\text{'}}=78°$

• $\widehat{\mathrm{F}\text{'}}=\hat{\mathrm{F}}=180°-(78°+57°)=45°$.

Vậy $\widehat{\mathrm{D}\text{'}}={78}^{\mathrm{o}}$; $\widehat{\mathrm{F}\text{'}}=45°$.

c) ΔMNP ᔕ ΔM′N′P′ nên ta có

$\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{N}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{\mathrm{MN}}{15}=\frac{6}{12}=\frac{10}{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{P}\text{'}}=\frac{1}{2}$ .

Do đó $\mathrm{MN}=\frac{15}{2},\mathrm{M}\text{'}\mathrm{P}\text{'}=20$ .

Giải Toán 8 trang 66 Tập 2

Bài 4 trang 66 Toán 8 Tập 2:Trong Hình 14, cho biết AB // CD.

a) Chứng minh rằng ΔAEB ᔕ ΔDEC.

b) Tìm x.

Lời giải:

a) Ta có AB // CD nên $\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{D}},\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$ (cặp góc so le trong)

Lại có $\widehat{\mathrm{AEB}}=\widehat{\mathrm{CED}}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ΔAEB ᔕ ΔDEC

b) ΔAEB ᔕ ΔDEC nên $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}$ hay $\frac{\mathrm{x}-2}{10}=\frac{3}{5}$ .

Khi đó $\mathrm{x}-2=\frac{3.10}{5}=6$ .

Do đó x = 8.

Bài 5 trang 66 Toán 8 Tập 2:Cho ΔABC ᔕ ΔDEF theo tỉ số đồng dạng$\mathrm{k}=\frac{2}{5}$

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 36 cm, tính chu vi của mỗi tam giác.

Lời giải:

a) Do ΔABC ᔕ ΔDEF nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}=\frac{2}{5}$

• Chu vi tam giác ABC là:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=\frac{2}{5}(\mathrm{DE}+\mathrm{EF}+\mathrm{DF})$

• Chu vi tam giác DEF là:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{DEF}}=\mathrm{DE}+\mathrm{EF}+\mathrm{DF}$

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và DEF là:

$\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{DEF}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{5}}(\mathrm{DE}+\mathrm{EF}+\mathrm{DF})}{\mathrm{DE}+\mathrm{EF}+\mathrm{DF}}=\frac{2}{5}$.

Vậy tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho là $\frac{2}{5}$ .

b) Ta có: $\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{DEF}}}=\frac{2}{5}$

Mà ${\mathrm{P}}_{\mathrm{DEF}}-{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}=36$

Do đó ${\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}=24\mathrm{cm};{\mathrm{P}}_{\mathrm{DEF}}=60\mathrm{cm}$ .

Vậy chu vi tam giác ABC là 24 cm và chu vi tam giác DEF là 60 cm.

Bài 6 trang 66 Toán 8 Tập 2:Người ta ứng dụng hai tam giác đồng dạng để đo khoảng cách BC ở hai địa điểm không thể đến được (Hình 15). Biết DE // BC.

a) Chứng minh rằng ΔADE ᔕ ΔABC.

b) Tính khoảng cách BC.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có DE // BC nên ΔADE ᔕ ΔABC.

b) ΔADE ᔕ ΔABC nên $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$ hay $\frac{22}{\mathrm{BC}}=\frac{16}{30}$ .

Do đó $\mathrm{BC}=\frac{30.22}{16}=41,25\left(\mathrm{m}\right)$

Vậy BC = 41,25 m.

Lý thuyết Hai tam giác đồng dạng

1. Khái niệm

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B},\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$

Kí hiệu: $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ là tỉ số đồng dạng của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $\mathrm{\Delta }ABC$.

2. Tính chất

Tính chất 1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó theo tỉ số k = 1.

Tính chất 2. Nếu $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số k thì $\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo tỉ số $\frac{1}{k}$.

Ta nói $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $\mathrm{\Delta }ABC$ đồng dạng với nhau.

Tính chất 3.

$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\\ \mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC\end{array}\}\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

3. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC,M\in AB,N\in AC\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC\end{array}$

Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài của hai cạnh và song song với cạnh còn lại.

Sơ đồ tư duy Hai tam giác đồng dạng