Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng

Giải Toán 9 Luyện tập trang 77

Video Giải Bài 14 trang 77 Toán lớp 9 Tập 1

Bài 14 trang 77 Toán lớp 9 Tập 1:

a) $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}$, $\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}$, $\mathrm{tan\alpha }.\mathrm{cot\alpha }=1$;

b) ${\sin }^2\mathrm{\alpha }+{\cos }^2\mathrm{\alpha }=1$.

Gợi ý: Sử dụng định lí Py-ta-go.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\hat{\mathrm{A}}={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}={90}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}<{90}^{\mathrm{o}}$

Đặt $\hat{\mathrm{C}}=\mathrm{\alpha }$

Hay $\mathrm{\alpha }<{90}^0$

Do đó $\mathrm{\alpha }$ là góc nhọn.

Các tỉ số lượng giác của góc $\hat{\mathrm{C}}=\mathrm{\alpha }$ là:

$\mathrm{sin\alpha }=\mathrm{sinC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\mathrm{cos\alpha }=\mathrm{cosC}=\frac{\mathrm{A}\text{}\mathrm{C}}{\mathrm{BC}}\mathrm{tan\alpha }=\mathrm{tanC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\mathrm{cot\alpha }=\mathrm{cotC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$

Ta thấy rằng:

$\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=\frac{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}{\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\Rightarrow \mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}\left(=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)\left(\mathrm{đpcm}\right)$

$\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}=\frac{\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\Rightarrow \mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}\left(=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\right)\left(\mathrm{đpcm}\right)$

$\mathrm{tan\alpha }.\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=1$ (đpcm)

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$ (1)

Mặt khác ta có:

${\sin }^2\mathrm{\alpha }={\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\right)}^2=\frac{{\mathrm{AB}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}{\cos }^2\mathrm{\alpha }={\left(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\right)}^2=\frac{{\mathrm{AC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}\Rightarrow {\sin }^2\mathrm{\alpha }+{\cos }^2\mathrm{\alpha }=\frac{{\mathrm{AB}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}+\frac{{\mathrm{AC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: ${\sin }^2\mathrm{\alpha }+{\cos }^2\mathrm{\alpha }=\frac{{\mathrm{BC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}=1$  (đcpcm)