Hãy chứng minh cách dựng trên là đúng Câu hỏi 2 trang 111 Toán lớp 9 tập 1

Giải Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Câu hỏi 2 trang 111 Toán lớp 9 tập 1:

Lời giải:

Ta có:

MA = MO = MB (do cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

Xét tam giác MAB có:

MA = MB

Do đó, tam giác MAB cân tại M

 $\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{ABM}$ (1) (hai góc ở đáy)

Xét tam giác MOB có:

MO = MB

Do đó, tam giác MOB cân tại M

$\Rightarrow \widehat{BOA}=\widehat{MBO}$ (2) (hai góc ở đáy)

Từ (1) và (2) ta có:

$\widehat{BAO}+\widehat{BOA}=\widehat{ABM}+\widehat{MBO}=\widehat{ABO}$ (3)

Mặt khác ta có: $\widehat{BAO}+\widehat{BOA}+\widehat{ABO}={180}^o$ (4) (tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (3) và (4) ta có:

 $\widehat{ABO}=\frac{1}{2}{.180}^o={90}^o\Rightarrow AB\perp BO$ tại B

Mà B nằm trên đường tròn (O), do đó, AB là tiếp tuyến của (O) tại B

Ta có:

MA = MO = MC (do cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

Xét tam giác MAC có:

MA = MC

Do đó, tam giác MAC cân tại M

$\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{ACM}$ (5) (hai góc ở đáy)

Xét tam giác MOC có:

MO = MC

Do đó, tam giác MOC cân tại M

$\Rightarrow \widehat{COA}=\widehat{MCO}$ (6) (hai góc ở đáy)

Từ (5) và (6) ta có:

$\widehat{CAO}+\widehat{COA}=\widehat{ACM}+\widehat{MCO}=\widehat{ACO}$ (7)

Mặt khác ta có: $\widehat{CAO}+\widehat{COA}+\widehat{ACO}={180}^o$ (8) (tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (7) và (8) ta có:

$\widehat{ACO}=\frac{1}{2}{.180}^o={90}^o\Rightarrow AC\perp CO$ tại C

Mà C nằm trên đường tròn (O), do đó, AC là tiếp tuyến của (O) tại C.