Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm

Giải Toán 7 Luyện tập trang 67

Video giải Bài 30 trang 67 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 30 trang 67 Toán lớp 7 Tập 2: 

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Gọi trung điểm BC, AC, AB lần lượt là M, N, P.

⇒ AM, BN, CP là các đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC.

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

$GB=\frac{2}{3}BN$  (1)

$GA=\frac{2}{3}AM$ mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) nên $GG\text{'}=\frac{2}{3}AM$ (2)

$GM=\frac{1}{2}AG$, mà $AG=GG\text{'}$

$\Rightarrow GM=\frac{1}{2}GG\text{'}\Rightarrow GM=MG\text{'}$

Xét ΔGMC và ΔG’MB có:

GM = G’M (chứng minh trên)

$\widehat{GMC}=\widehat{G\text{'}MB}$ (hai góc đối đỉnh)

MC = MB (giả thiết)

Do đó ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c).

Suy ra GC = G’B (hai cạnh tương ứng).

Mà $GC=\frac{2}{3}CP$ (tính chất đường trung tuyến) $\Rightarrow BG\text{'}=\frac{2}{3}CP$  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

$GG\text{'}=\frac{2}{3}AM;BG\text{'}=\frac{2}{3}CP;BG=\frac{2}{3}BN$

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG, BG’.

Vì M là trung điểm GG’nên BM là đường trung tuyến ΔBGG.

Mà M là trung điểm BC nên $BM=\frac{1}{2}BC$

Vì I là trung điểm của BG nên $IG=\frac{1}{2}BG$.

Mà $GN=\frac{1}{2}BG$ nên suy ra $IG=GN\left(=\frac{1}{2}BG\right)$.

Xét ΔIGG’ và ΔNGA có:

IG = GN (chứng minh trên)

$\widehat{IGG\text{'}}=\widehat{NGA}$ (hai góc đối đỉnh).

GG’ = GA (giả thiết)

Do đó ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c)

Suy ra G’I = AN (hai cạnh tương ứng)

 $\Rightarrow G\text{'}I=\frac{1}{2}AC$ (vì $AN=\frac{1}{2}AC$)   

Ta có: $PG=\frac{1}{2}GC;BK=\frac{1}{2}BG\text{'}$

Mà GC = BG’ (chứng minh phần a) nên suy ra PG = BK.

ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a)

$\Rightarrow \widehat{CGM}=\widehat{BG\text{'}M}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra CP // BG’.

$\Rightarrow \widehat{PGB}=\widehat{GBG\text{'}}$ (hai góc so le trong) hay $\widehat{PGB}=\widehat{GBK}$.

Xét ΔPGB và ΔKBG có:

PG = BK (chứng minh trên)

$\widehat{PGB}=\widehat{GBK}$ (chứng minh trên)

BG là cạnh chung

Do đó ΔPGB = ΔKBG (c.g.c)

Suy ra PB = GK (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow GK=\frac{1}{2}AB$ (vì $PB=\frac{1}{2}AB$).

Vậy $BM=\frac{1}{2}BC;GK=\frac{1}{2}AB;G\text{'}I=\frac{1}{2}AC$