Giải Toán 11 trang 80 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11trang 80 Tập 1

Bài 6 trang 80 Toán 11 Tập 1:Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại này lên độ cao bằng$\frac{1}{10}$độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi S_nlà tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả vật bạn đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limS_n.

Lời giải:

Gọi (u_n) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.

Khi đó dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 55,8 và công bội q=$\frac{1}{10}$thỏa mãn |q| < 1.

Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m.

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

Lời giải:

a)

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

p₂ = $p_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{1}{2}.\left(3a\right)=\frac{1}{2}.p_1$;

Suy ra:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\left(3a\right)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3a\right)=0.3a=0$.

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: S₁ = S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ah; S₂ = $S_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2}=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{2}ah\right)=\frac{1}{4}.S_1$;

Suy ra $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.S_1\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}ah\right)=0.\frac{1}{2}ah=0$.

b) +) Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

+) Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = $\frac{1}{2}$ah và công bội q = $\frac{1}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

Bài 8 trang 80 Toán 11 Tập 1:Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính$\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}$.

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d’ = φ(d).

b) Tìm $\underset{d\to f^{+}}{\lim }\phi \left(d\right),\underset{d\to f^{-}}{\lim }\phi \left(d\right)$và $\underset{d\to f}{\lim }\phi \left(d\right)$. Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d}\iff \frac{1}{d\text{'}}=\frac{d-f}{df}\iff d\text{'}=\frac{df}{d-f}$.

b) Ta có:

$\underset{d\to f^{+}}{\lim }\phi \left(d\right)=\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{df}{d-f}=+\infty ;\underset{d\to f^{-}}{\lim }\phi \left(d\right)=\underset{d\to f^{-}}{\lim }\frac{df}{d-f}=-\infty$;

$\underset{d\to f}{\lim }\phi \left(d\right)=\underset{d\to f}{\lim }\frac{df}{d-f}=\infty$.

Giải thích ý nghĩa: Khi khoảng cách của vật tới thấu kính mà gần với tiêu cự thì khoảng cách ảnh của vật đến thấu kính ra xa vô tận nên lúc đó bằng mắt thường mình không nhìn thấy.