Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.59 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác $\overrightarrow{0}$có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB};$những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB};$

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

$\Rightarrow$ MN // AB // DC và MN = AB = DC.

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{MN}$

Vậy những vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$là: $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}.$

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của DADC

$\Rightarrow$ NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{NO},\overrightarrow{OM},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{DC.}$

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

$\Rightarrow BI=\frac{2}{3}BO$và $OI=\frac{1}{2}BI$(tính chất trọng tâm)(1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

$\Rightarrow DJ=\frac{2}{3}DO$và $OJ=\frac{1}{2}DJ$(tính chất trọng tâm)(2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

Mà

Vậy BI = IJ = JD.

Bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{v}.$Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}:$$\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GM},\overrightarrow{GN}.$

Lời giải:

a) Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của DABC, DAMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: 

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) • Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

• Từ BM = MN = NC suy ra $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{GN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}$

Bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB}=60°.$

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.$

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn $2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$và $\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$(x ≠ –1).Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải:

a) Ta có:

= 10 – 4²

= 10 – 16

= –6

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=10,$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-6.$

b) Ta có

Do đó:

= (3 – x).10 – 4² + 3x.5²

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BM}=0$

$\iff \left(1+x\right)\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BM}=0$(với x ≠ –1)

$\Rightarrow$65x + 14 = 0

$\Rightarrow$ x = $-\frac{14}{65}$

Vậy với x = $-\frac{14}{65}$thì AN ⊥ BM.

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{v}.$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AP}\text{, }\overrightarrow{AQ}$qua hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Lời giải:

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên $\overrightarrow{PD}=-2\overrightarrow{PM}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

(vì M là trung điểm của AB)

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

$\Rightarrow \overrightarrow{QB}=-x\overrightarrow{QN}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

(vì N là trung điểm của CD)

b) Với $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{v}+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{AQ}=\frac{x+2}{2\left(x+1\right)}\overrightarrow{u}+\frac{x}{x+1}\overrightarrow{v}$

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AP}$và $\overrightarrow{AQ}$cùng phương

$\iff \frac{\frac{x+2}{2\left(x+1\right)}}{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{1}{3}}$$\iff \frac{x+2}{2\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}$

$\iff \frac{x+2}{2\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}$

$\Rightarrow$ x + 2 = 2x

$\Rightarrow$ x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Bài 4.63 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{BC},$$\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{CA}.$Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Lời giải:

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Do đó $\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}$cùng phương với $\overrightarrow{BA}$

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

• Vì E là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$

F là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{DF}.$

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

$2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{DF}$

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{NM}$

Do đó $2\overrightarrow{KL}=2\overrightarrow{NM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$

$\Rightarrow$ KL = NM và KL // NM

$\Rightarrow$ KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

$2\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ED}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\right)=\frac{1}{2}.\overrightarrow{EF}$(do F là trung điểm của DC)

Do đó $2\overrightarrow{EI}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{EF}$

$\Rightarrow \overrightarrow{EI}=\frac{1}{4}.\overrightarrow{EF}$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{EI}$và $\overrightarrow{EF}$cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM}$theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AD}$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\widehat{CEA}=90°$

Tứ giác ABCE có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{CEA}=90°$nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$AD

$\Rightarrow \overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EA}$(do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

• Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}$

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}$(do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\overrightarrow{ED}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Vậy $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}.$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó 

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\overrightarrow{IC}$và $\overrightarrow{ID}$ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9\overrightarrow{IC}=-5\overrightarrow{ID}$hay $\overrightarrow{IC}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{ID}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AI}$và $\overrightarrow{AG}$cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có 

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7}$

• Ta có: 

Vậy AI = $\frac{15}{7}$và BI = $\frac{13}{7}$

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0.$

Lời giải:

Ta có:

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$$+\left(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right).\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{BC}}^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}-$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{BC}}^2-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}$

= 0.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0.$

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba

a) Tính các tích vô hướng

b) Tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$

Lời giải:

a) Với $\overrightarrow{a}$= (1; 2), $\overrightarrow{b}$= (3; –4) và $\overrightarrow{c}$= (–5; 3) ta có:

b) Với ta có:

• $\left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5};$

• $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$= (–2; –1)

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{5}.$

• $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$= 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Mà cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|}$$=\frac{-4}{\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{-4}{5}.$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\approx 143°7^{\text{'}}4{8^{\text{'}}}^{\text{'}}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

$\overrightarrow{AB}$= (3; 3) và $\overrightarrow{AC}$= (7; –3)

Vì $\frac{3}{7}\ne \frac{3}{-3}=-1$nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{4}{3};1\right)$.

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

• $\overrightarrow{AH}$= (x + 2; y – 1) và $\overrightarrow{BC}$= (4; –6)

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$= 4.(x + 2) – 6.(y – 1) = 0

$\Rightarrow$ 4x – 6y = –14

$\Rightarrow$ 2x – 3y = –7(1)

• $\overrightarrow{BH}$= (x – 1; y – 4) và $\overrightarrow{AC}$= (7; –3)

$\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}$= 7.(x – 1) – 3.(y – 4) = 0

$\Rightarrow$ 7x – 3y = –5(2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

$\Rightarrow$ x = $\frac{2}{5}$

Thay x = $\frac{2}{5}$vào (1) ta được:2.$\frac{2}{5}$– 3y = –7

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right).$

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

$\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right)$và I(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{12}{5};\frac{8}{5}\right)$

• M là trung điểm của BC nên $\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+5}{2}=3\\ y_M=\frac{4+\left(-2\right)}{2}=1\end{array}$

$\Rightarrow$ M(3; 1)

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}$= (3 – a; 1 – b)

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IM}$= (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có 

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I\left(\frac{9}{5};\frac{1}{5}\right).$

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: $\overrightarrow{BC}$và $\overrightarrow{BD}$là hai vectơ cùng phương

Vậy $D\left(\frac{17}{2};0\right)$là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

$\Rightarrow$ 3 điểm A, E, B thẳng hàng

$\iff \overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AE}$là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• $\overrightarrow{AB}$= (3; 4)

• $\overrightarrow{AE}$= (b – 2; 1)

Khi đó $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AE}$là hai vectơ cùng phương

Vậy $E\left(\frac{11}{4};0\right)$là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Với điểm F bất kì ta có: 

Để vectơ $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

$\Rightarrow$ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = $\frac{11}{3}$

Vậy $F\left(0;\frac{11}{3}\right).$

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng $\left.\overrightarrow{P}\right|$= mg = 2 500 . 10 = 25 000 (N)

Trọng lực của ô tô hợp với hướng chuyển dời $\overrightarrow{MN}$một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực $\overrightarrow{P}$được phân tích thành hai thành phần $\overrightarrow{P_1}$và $\overrightarrow{P_2}$nên ta có:

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}$

($\overrightarrow{P_1}$có phương vuông góc với mặt dốc, $\overrightarrow{P_2}$có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy $\overrightarrow{P_1}$không có tác dụng với chuyển dời $\overrightarrow{MN}$của xe và $\overrightarrow{P_2}$ngược hướng với $\overrightarrow{MN}$.

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

A = $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{MN}=\left.\overrightarrow{P}\right|.\left.\overrightarrow{MN}\right|.cos\left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{MN}\right)$

= 25 000 . 50 . cos105°

≈ –323 524 (J)

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.