Giải SBT Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.47 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Xét phương án A:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM và G nằm giữa A, M.

Khi đó $\overrightarrow{GA},$$\overrightarrow{GM}$là hai vectơ ngược hướng

Nên $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM

Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$và $\overrightarrow{AM}$cùng hướng nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$

Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}.$

Do đó phương án B là đúng.

• Xét phương án C:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM = 3MG và G nằm giữa A, M.

Khi đó $\overrightarrow{AM},$$\overrightarrow{MG}$là hai vectơ ngược hướng

Nên $\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{MG}$

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Ta có $2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$(chứng minh khi xét phương án B)

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.48 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là

A. (1; 2);

B. (2; 1);

C. (1; –2);

D. (–2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\begin{array}{l}{x}_G=\frac{-3+2+4}{3}=1\\ y_G=\frac{1+\left(-1\right)+6}{3}=2\end{array}$

$\Rightarrow$ G(1; 2)

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.49 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A. (5; 4);

B. (4; 5);

C. (4; 3);

D. (3; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.50 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên DABC vuông cân tại B

Do đó:

• $\widehat{BAC}=45°$

• AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$(theo định lí Pythagore)

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$= AB.AC.cos$\widehat{BAC}$

= a.a.$\sqrt{2}$.cos45°

= a.a$\sqrt{2}$.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

= a².

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$= a².

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.51 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$cùng khác $\overrightarrow{0}$Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|$tương đương với

A. $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng phương;

B. $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ngược hướng;

C. $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng;

D. $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Do đó để $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|$

$\iff cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$

$\iff \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$

$\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.52 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$cùng khác $\overrightarrow{0}$Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|$tương đương với

A. $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng phương;

B. $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ngược hướng;

C. $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng;

D. $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Do đó để $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|$

$\iff \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-1$

$\iff (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180°$

$\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ngược hướng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.53 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$Tích vô hướng $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$bằng

A. $\sqrt{3}$

B. $-\sqrt{3}$

C. 3;

D. –3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$= BC.CA.cos$\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)$

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

Khi đó: $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)=\widehat{ACx}$

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2

Nên AB = $\frac{1}{2}$BC

Lại có $\widehat{ABC}=60°.$

Do đó DABC vuông tại A.

Suy ra:

• AC = $\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

• $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=90°-60°=30°$

Mà $\widehat{ACx}=180°-\widehat{ACB}$(do hai góc $\widehat{ACx}$và $\widehat{ACB}$kề bù)

$\Rightarrow \widehat{ACx}=180°-30°=150°$

Do đó $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$= BC.CA.cos$\widehat{ACx}$

= 2.$\sqrt{3}$.cos150°

= 2.$\sqrt{3}.\frac{-\sqrt{3}}{2}$

= –3.

Vậy ta chọn phương án D.