Giải SBT Toán 10 trang 69 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 69 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.54 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là

A. m = –2;

B. m = 2;

C. m = ±2;

D. m = 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(-3;6\right)$ và $\overrightarrow{OC}=\left(3m;2m-1\right)$

Để AB ⊥ OC thì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{OC}$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}=0$

$\Rightarrow$ −3.3m + 6.(2m – 1) = 0

$\Rightarrow$ −9m + 12m – 6 = 0

$\Rightarrow$ 3m = 6

$\Rightarrow$ m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.55 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{NP}$bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{-1}{2}$

C. 0;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\Rightarrow$ MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

$\Rightarrow$ ANMP là hình bình hành

Mặt khác:

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{NP}$$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{NP}=0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của $\frac{AP}{AB}$bằng

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử $\frac{AP}{AB}=x$(x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}\Rightarrow \frac{BM}{BM+MC}=\frac{2}{2+1}$

Hay $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Tương tự ta cũng có $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC.}$

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và $\widehat{BAC}=60°.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

= 1.1.cos60° = $\frac{1}{2}$

Khi đó:

(thỏa mãn)

Vậy $\frac{AP}{AB}=\frac{5}{12}.$

Ta chọn phương án A.

Bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$và $\overrightarrow{MC}$bằng

A. $\frac{a^2}{2};$

B. $-\frac{a^2}{2};$

C. a²;

D. –a².

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}\Rightarrow \frac{BM}{BM+MC}=\frac{2}{2+1}$

Hay $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

• Khi đó:

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và $\widehat{BAC}=60°.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

= 3a.3a.cos60° = $\frac{9}{2}{a}^2$

Do đó 

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=$$-\frac{1}{2}$a².

Ta chọn phương án B.

Bài 4.58 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thoả mãn $\left.\overrightarrow{MC}–\overrightarrow{MB}\right|=\left.\overrightarrow{MC}–\overrightarrow{AC}\right|$là

A. đường tròn tâm A bán kính BC.

B. đường thẳng đi qua A và song song với BC.

C. đường tròn đường kính BC.

D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\Rightarrow$ BC = MA

Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).

Vậy ta chọn phương án A.