Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{\text{a}}$và $\overrightarrow{\text{b}}$, ta có: $\overrightarrow{\left.\text{a}\right|}-\overrightarrow{\left.\text{b}\right|}<\left.\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right|<\overrightarrow{\left.\text{a}\right|}+\overrightarrow{\left.\text{b}\right|}$.

Lời giải:

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho . Ta có 

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

$\left.\text{OA}-\text{AB}\right|$≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra$\overrightarrow{\left.\text{a}\right|}-\overrightarrow{\left.\text{b}\right|}<\left.\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right|<\overrightarrow{\left.\text{a}\right|}+\overrightarrow{\left.\text{b}\right|}$.

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Đặt $\overrightarrow{\text{u}}$= $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{u}}$= $\overrightarrow{\text{OA}}+\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)+\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$

Do OA nằm trên đường phân giác của $\widehat{\text{BOE}}$và $\widehat{\text{DOC}}$của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ $\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)$và $\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$nằm trên đường thẳng OA, suy ra $\overrightarrow{\text{u}}$nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có $\overrightarrow{\text{u}}$cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy $\overrightarrow{\text{u}}$= $\overrightarrow{\text{0}}$

Vậy  

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên $\overrightarrow{\text{AB}}$= $\overrightarrow{\text{AA'}}$.

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên $\overrightarrow{\text{BC}}$= $\overrightarrow{\text{BB'}}$.

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên $\overrightarrow{\text{CA}}$= $\overrightarrow{\text{CC'}}$.

Ta có:

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\left.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\left.\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right|$;

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\right)$= $\overrightarrow{\text{0}}$

hay $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$= $\overrightarrow{\text{0}}$.

Suy ra AB² – AC² = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\text{}$khi tam giác ABC cân tại A.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$;

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$.

Lời giải:

a) ⇒ ABCD là hình bình hành.

b) 

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Ta có: MA = NB và hai vectơ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{\text{NB}}$cùng phương, ngược chiều ⇒ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$+ $\overrightarrow{\text{NB}}$= $\overrightarrow{\text{0}}$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: 

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho $\overrightarrow{\text{OM'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{OM}}$, $\overrightarrow{\text{ON'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{ON}}$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Lời giải:

Ta có:

Vậy .

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ  có độ dài bằng nhau và . Tính các góc $\widehat{\text{AOB}}$, $\widehat{\text{BOC}}$, $\widehat{\text{COA}}$.

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

⇒ AB = BC = CA.

Như vậy $\widehat{\text{AOB}}$= $\widehat{\text{BOC}}$= $\widehat{\text{COA}}$= $\frac{360°}{3}$= 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có 

N là trung điểm của AB nên 

Tương tự ta có: và 

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên 

và

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.