Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 3(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 1 = 0

Giải Toán 9 Luyện tập trang 56, 57

Video Giải Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2:

Hướng dẫn:

a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² +x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}$ hoặc $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}=\mathrm{t}$

Lời giải:

a) $3{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right)}^2-2\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right)-1=0$

Đặt  khi đó phương trình trở thành: $3{\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}-1=0$

Ta có: a = 3; b = -2; c = -1

Nhận thấy a + b + c = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\mathrm{t}}_1=1;{\mathrm{t}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{-1}{3}$

+) Với t = 1 $\Rightarrow {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}=1$

$\iff {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-1=0$

Ta có: a = 1; b = 1; c = -1

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=1^2-4.1.\left(-1\right)=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Ta có: a = 1; b = 1; c = $\frac{1}{3}$

$\mathrm{\Delta }=1^2-4.1.\frac{1}{3}=\frac{-1}{3}<0$ vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $\mathrm{S}=\left.\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$

b)

Đặt ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+2=\mathrm{t}$ khi đó phương trình trở thành t² + t – 6 = 0 (2)

Ta có a = 1; b = 1; c = -6

⇒ Δ = 1² – 4.1.(-6) = 25 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt

+ Với t = 2 ⇒ x² – 4x + 2 = 2

⇔ x² – 4x = 0

⇔ x(x – 4) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 4.

+ Với t = -3 ⇒ x² – 4x + 2 = -3

⇔ x² – 4x + 5 = 0 (*)

Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = (-2)² – 1.5 = -1 < 0

⇒ (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.

c) Điều kiện: $x\ge 0$

$\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}}=5\sqrt{\mathrm{x}}+7$  (1)

Đặt $\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{t}$. Khi đó phương trình (1) trở thành:

${\mathrm{t}}^2-\mathrm{t}=5\mathrm{t}+7\left(2\right)$

Giải (2): Có a = 1; b = -6; c = -7

⇒ a – b + c = 0

⇒ (2) có nghiệm t₁ = -1; t₂ = $\frac{-\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{7}{1}$ = 7.

Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.

+ Với t = 7 ⇒ $\sqrt{x}$ = 7 ⇔ x = 49 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $\mathrm{S}=\left.49\right\}$

d) Điều kiện: $\mathrm{x}\ne 0;\mathrm{x}\ne -1$

$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}-10.\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}=3$  (1)

Đặt $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}=\mathrm{t}$ khi đó phương trình (1) trở thành:

t - $10.\frac{1}{\mathrm{t}}=3$

$\Rightarrow {\mathrm{t}}^2-10=3\mathrm{t}\iff {\mathrm{t}}^2-3\mathrm{t}-10=0\left(2\right)$

Ta có: a = 1; b = -3; c = -10.

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left.\frac{-5}{4};\frac{-2}{3}\right\}$