Giải các bất phương trình 2/(x - 1) nhỏ hơn hoặc bằng 5/(2x - 1)

Giải Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Video Giải Bài 2 trang 94 Toán lớp 10 Đại số

Bài 2 trang 94 Toán lớp 10 Đại số:

a) $\frac{2}{x-1}\le \frac{5}{2x-1}$;

b) $\frac{1}{x+1}<\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$;

c) $\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}$;

d) $\frac{x^2-3x+1}{x^2-1}<1$.

Lời giải:

a)

+ Điều kiện:

$\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ 2x-1\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne \frac{1}{2}\end{array}$

+ Ta có:

$\frac{2}{x-1}\le \frac{5}{2x-1}\iff \frac{2}{x-1}-\frac{5}{2x-1}\le 0$

$\iff \frac{2\left(2x-1\right)-5\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}\le 0$

$\iff \frac{4x-2-5x+5}{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}\le 0$

$\iff \frac{-x+3}{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}\le 0$

+ Đặt f(x) = $\frac{-x+3}{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}$

Suy ra f(x) = 0 khi –x + 3 = 0 hay x = 3.

+ Ta lập bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(\frac{1}{2};1\right)\cup \left.3;+\infty \right)$

b)

+ Điều kiện: $\begin{array}{l}x+1\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne 1\end{array}$

+ Ta có:

$\frac{1}{x+1}<\frac{1}{{(x-1)}^2}\iff \frac{1}{x+1}-\frac{1}{{(x-1)}^2}<0$

$\iff \frac{{(x-1)}^2-(x+1)}{(x+1){(x-1)}^2}<0$

$\iff \frac{x^2-2x+1-x-1}{(x+1){(x-1)}^2}<0$

$\iff \frac{x^2-3x}{(x+1){(x-1)}^2}<0$

$\iff \frac{x(x-3)}{(x+1){(x-1)}^2}<0$

+ Đặt $f\left(x\right)=\frac{x(x-3)}{(x+1){(x-1)}^2}$

Suy ra f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3

+ Ta có bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(1;3\right)$

c)

+ Điều kiện: $\begin{array}{l}x\ne 0\\ x+4\ne 0\\ x+3\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -4\\ x\ne -3\end{array}$

+ Ta có:

+ Đặt $f\left(x\right)=\frac{x+12}{x(x+3)(x+4)}$

Suy ra f(x) = 0 khi x + 12 = 0 hay x = –12.

+ Ta có bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-12;-4\right)\cup \left(-3;0\right)$

d)

+ Điều kiện: $x^2-1\ne 0\iff x\ne \pm 1$

+ Ta có:

$\frac{x^2-3x+1}{x^2-1}<1\iff \frac{x^2-3x+1}{x^2-1}-1<0$

$\iff \frac{x^2-3x+1-x^2+1}{x^2-1}<0$

$\iff \frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)}<0$

+ Đặt $f\left(x\right)=\frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)}$

Ta thấy: f(x) = 0 khi -3x + 2 = 0 suy ra $x=\frac{2}{3}$

+ Ta lập bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-1;\frac{2}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$