Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Kết nối tri thức

Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x – 1)⁵;

b) (2x – 3y)⁴.

Lời giải:

a) (x – 1)⁵ = [x + (–1)]⁵ = x⁵ + 5x⁴(–1) + 10x³(–1)² + 10x²(–1)³ + 5x(–1)⁴ + (–1)⁵

= x⁵ – 5x⁴ + 10x³ – 10x² + 5x – 1.

b) (2x – 3y)⁴ = [(2x + (–3y)]⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(–3y) + 6(2x)²(–3y)² + 4(2x)(–3y)³ + (–3y)⁴

= 16x⁴ – 96x³y + 216x²y² – 216xy³ + 81y⁴.

Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x + y)⁶;

b) (1 – 2x)⁵.

Lời giải:

a) (x + y)⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2+C_6^3{x}^3{y}^3+C_6^4{x}^2{y}^4+C_6^{5}x{y}^5+C_6^6{y}^6$

$=x^6+C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2+C_6^3{x}^3{y}^3$$+C_6^4{x}^2{y}^4+C_6^{5}x{y}^5+y^6.$

Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10:Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là

$C_{10}^{10-8}{\left(2x\right)}^8{3}^{10-8}$$=C_{10}^2{2}^8{3}^2{x}^8=103680x^8.$

Vậy hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là 103680.

Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n.

Lời giải:

Số hạng chứa x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ hay [(–3x) +1]ⁿ là

$C_n^{n-2}{\left(-3x\right)}^2{1}^{n-2}=9C_n^2{x}^2.$

Vậy hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là $9C_n^2.$

$\Rightarrow 9C_n^2=90\Rightarrow C_n^2=10\Rightarrow \frac{n\left(n-1\right)}{2}=10\Rightarrow n=5.$

Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(3x – 5)⁴ = (3x)⁴ + 4(3x)³(–5) + 6(3x)²(–5)² + 4(3x)(–5)³ + (–5)⁴

= 81x⁴ – 540x³ + 1350x² – 1500x + 625.

Tổng các hệ số của đa thức này là: 81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.

Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰.

Lời giải:

+) Số hạng chứa x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ hay [(–2x) +1]⁵ là

$C_5^{5-4}{\left(-2x\right)}^4{1}^{5-4}=80x^4.$

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ là 80

$\Rightarrow$hệ số của x⁵ trong khai triển của x(1 – 2x)⁵ là 1.80 = 80 (1).

+) Số hạng chứa x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ hay [3x +1]¹⁰ là

$C_{10}^{10-3}{\left(3x\right)}^3{1}^{10-3}=3240x^3.$

Vậy hệ số của x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ là 3240

$\Rightarrow$hệ số của x⁵ trong khai triển của x²(1 + 3x)¹⁰ là 1.3240 = 3240 (2).

+) Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰ là 80 + 3240 = 3320.

Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10:Tính tổng sau đây:

$C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2$$-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}.$

Lời giải:

$C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-$$2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}$

$=C_{2021}^0+C_{2021}^1\left(-2\right)+C_{2021}^2{\left(-2\right)}^2$$+C_{2021}^3{\left(-2\right)}^3+\dots +C_{2021}^{2021}{\left(-2\right)}^{2021}$

$=C_{2021}^0{1}^{2021}+C_{2021}^1{1}^{2020}\left(-2\right)+$$C_{2021}^2{1}^{2019}{\left(-2\right)}^2+C_{2021}^3{1}^{2018}{\left(-2\right)}^3$$+\dots +C_{2021}^{2021}{\left(-2\right)}^{2021}$

$={\left.1+\left(-2\right)\right]}^{2021}={\left(-1\right)}^{2021}=-1.$

Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10:Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots$$+C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$

Lời giải:

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-C_{2n}^3$$+C_{2n}^4+\dots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}$$=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10:Tìm số nguyên dương n sao cho $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots$$+2^n{C}_n^n=243.$

Lời giải:

Có:

$C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=C_n^0+C_n^{1}2+C_n^2{2}^2+\dots +C_n^n{2}^n$

$=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}2+C_n^2{1}^{n-2}{2}^2$$+\dots +C_n^n{2}^n={\left(1+2\right)}^n=3^n$

$\Rightarrow 3^n=243\Rightarrow n=5.$

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

$C_{100}^{100-k}{x}^k{2}^{100-k}=C_{100}^k{2}^{100-k}{x}^k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}{x}^k.$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là $2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\Rightarrow a_k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}.$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

$\left(1\right)\iff 2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\le 2^{100}\frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{2^k}\le \frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{C_{100}^{k+1}}\le \frac{2^k}{2^{k+1}}$

$\iff \frac{\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}}{\frac{100!}{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}}\le \frac{1}{2}\iff \frac{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}{k!\left(100-k\right)!}\le \frac{1}{2}\iff \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2}$

$\iff 2\left(k+1\right)\le 100-k\iff 3k\le 98\iff k\le 32$(vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1}$\iff k\le 32$nên a_k ≥ a_{k + 1} $\iff k\ge 32.$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.