Giải bài tập trang 35, 36 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 35, 36 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n $\in${1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.

Lời giải:

Dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát:

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+$$\dots +C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n.$

Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶.

Lời giải:

(x – 2y)⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-2y\right)+$$C_6^2{x}^4{\left(-2y\right)}^2+C_6^3{x}^3{\left(-2y\right)}^3$

$+C_6^4{x}^2{\left(-2y\right)}^4+C_6^{5}x{\left(-2y\right)}^5+C_6^6{\left(-2y\right)}^6$

$=x^6-C_6^{1}2x^{5}y+C_6^2{2}^2{x}^4{y}^2-$$C_6^3{2}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{2}^4{x}^2{y}^4$$-C_6^5{2}^{5}x{y}^5+2^6{y}^6.$

Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ hay (–3x + 2)¹⁰ là

$C_{10}^{10-7}{\left(-3x\right)}^7{2}^{10-7}=C_{10}^3{\left(-3\right)}^7{2}^3{x}^7=-2099520x^7.$

Vậy hệ số của x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ là –2099520.

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ.

b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng $C_n^k$(0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải:

a) Ta có:

${(x+1)}^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}1$$+C_n^2{x}^{n-2}{1}^2+\dots +$$C_n^{n-1}x{1}^{n-1}+C_n^n{1}^n$

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+$$C_n^2{x}^{n-2}+\dots +C_n^{n-1}x+C_n^n.$

b) Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^n={\text{C}}_2^0{1}^n+{\text{C}}_n^1{1}^{n-1}$$+{\text{C}}_n^2{1}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}1+{\text{C}}_n^n$

hay $2^n={\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots$$+{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ.

c) Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^n={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}$$+{\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots$$+{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n$

hay $0={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}+$${\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots$$+{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.